如圖，已知N(
5
，0)，P是圓M：(x+
5
)2+y2=36（M為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段PN的垂直平分線m交PM于Q點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線y=x+b與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．
分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義，可得點(diǎn)Q在以M、N為焦點(diǎn)的橢圓上，由此可求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程，求得|AB|，再求出點(diǎn)O到直線AB的距離，可得△AOB面積，利用基本不等式可求最值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：|PQ|=|QN|，|QM|+|QP|=|MP|
∴|QM|+|QN|=|MP|
∵P是圓M：(x+
5
)2+y2=36（M為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，
∴|MP|=6
∴|QM|+|QN|=6
∵M(jìn)（-
5
，0，N（
5
，0），|MN|=2
5
＜6
∴點(diǎn)Q在以M、N為焦點(diǎn)的橢圓上，即c=
5
，a=3，
∴b2=a2-c2=4
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為
x2
9
+
y2
4
=1；
（Ⅱ）直線y=x+b，代入橢圓方程，消去y可得13x2+18bx+9b2-36=0
△=（18b）2-4×13×（9b2-36）＞0，∴-
13
＜b＜
13

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
18b
13
，x1x2=
9b2-36
13

∴|AB|=
2
|x1-x2|=
12
2
13
•
13-b2

設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則d=
|b|
2

∴△AOB面積S=
1
2
|AB|d=
1
2
•
12
2
13
•
13-b2
•
|b|
2
=
6
13
b2(13-b2)
≤
6
13
•
b2+13-b2
2
=3
當(dāng)b=±
26
2
時(shí)，等號(hào)成立
∴當(dāng)b=±
26
2
時(shí)，面積的最大值為3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以原點(diǎn)O為中心，F(
5
，0)為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率e=
5
2
．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；
（2）如圖，已知過點(diǎn)M（x1，y1）的直線l1：x1x+4y1y=4與過點(diǎn)N（x2，y2）（其中x2≠x）的直線l2：x2x+4y2y=4的交點(diǎn)E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點(diǎn)，求△OGH的面積．精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線l1：y=2x+m（m＜0）與拋物線C1：y=ax2（a＞0）和圓C2：x2+（y+1）2=5都相切，F(xiàn)是C1的焦點(diǎn)．
（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是C1上的一動(dòng)點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作拋物線C1的切線l，直線l交y軸于點(diǎn)B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點(diǎn)M在一條定直線上；
（3）在（2）的條件下，記點(diǎn)M所在的定直線為l2，直線l2與y軸交點(diǎn)為N，連接MF交拋物線C1于P，Q兩點(diǎn)，求△NPQ的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級(jí)采用分層抽樣的方法從該年級(jí)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：[0，30），[30，60），[60，90），[90，120），[120，150），[150，180），[180，210），[210.240），得到頻率分布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人．
（1）求n的值并求有效學(xué)習(xí)時(shí)間在[90，120）內(nèi)的頻率；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的n名學(xué)生，下列2×2列聯(lián)表，問：是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
利用時(shí)間充分 利用時(shí)間不充分 合計(jì)
走讀生 50 a
75
75
住校生 b 15
25
25
合計(jì)
60
60
 40 n
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．
參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考列表：

P（K2≥k0）		 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

k0		 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線
l
 
1
：y=2x+m(m＜0)與拋物線C1：y=ax2(a＞0)和圓C2：x2+(y+1)2=5都相切，F(xiàn)是C1的焦點(diǎn)．
（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是C1上的一動(dòng)點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作拋物線C1的切線，直線交y軸于點(diǎn)B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點(diǎn)M在一條定直線上；
（3）在（2）的條件下，記點(diǎn)M所在的定直線為l2，直線l2與y軸交點(diǎn)為N，連接MF交拋物線C1于P，Q兩點(diǎn)，求△NPQ的面積S的取值范圍．

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