Question

【題目】已知橢圓，點(diǎn)、、均在橢圓上，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，的最大值為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求外接圓的半徑的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性求出的坐標(biāo)，即可表示出，，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，從而求得，，即可得到橢圓方程；

（2）由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在直線的右上方，因?yàn)?/span>，所以．

即可求出的方程，從而求出的坐標(biāo)，即可得到，設(shè)圓心為，則，再由勾股定理計(jì)算可得；

解：（1）設(shè)，則，，

又，由對(duì)稱(chēng)性知，所以．①

，，

所以．

注意到，所以時(shí)上式取最大值，即．②

代入①得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在直線的右上方，因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以，即直線

將代入橢圓方程，得，解得或（舍去），所以，所以，．

設(shè)圓心為，則

由勾股定理：，即．