Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）令，由題意可得對(duì)任意的恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，令，可得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）設(shè)，則，

，，

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則.

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，合乎題意；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

且，

由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以，，不合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.