【題目】如圖,四邊形為正方形,平面,.

1)證明:平面平面;

2)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析.(2

【解析】

為坐標(biāo)原點(diǎn),線段的長為單位長,射線軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.

1)求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)線面垂直的判斷定理、面面垂直的判定定理,結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可;

2)利用空間向量夾角公式,結(jié)合平面法向量的求法進(jìn)行求解即可.

如圖,

為坐標(biāo)原點(diǎn),線段的長為單位長,射線軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.

1)證明:依題意有,,

,,.

所以,.

,.

平面.

平面,

所以平面平面.

2)依題意有,,.

設(shè)是平面的法向量,則

,即.

因此可取.

設(shè)是平面的法向量,則

,可取,所以.

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費(fèi)情況,從該市使用其平臺且每周平均消費(fèi)額超過100元的人員中隨機(jī)抽取了100名,并繪制如圖所示頻率分布直方圖,已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求的值;

2)分析人員對100名調(diào)查對象的性別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),消費(fèi)金額不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為消費(fèi)金額與性別有關(guān)?

(3)分析人員對抽取對象每周的消費(fèi)金額與年齡進(jìn)一步分析,發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān),得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲,試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為多少.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替)

列聯(lián)表

男性

女性

合計(jì)

消費(fèi)金額

消費(fèi)金額

合計(jì)

臨界值表:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

,其中

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【題目】已知球的半徑為3,該球的內(nèi)接正三棱錐的體積最大值為,內(nèi)接正四棱錐的體積最大值為,則的值為__________

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(2)若二面角的大小為,求的長度.

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【題目】為了豐富學(xué)生的課外文化生活,某中學(xué)積極探索開展課外文體活動的新途徑及新形式,取得了良好的效果.為了調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加文體活動是否有關(guān),學(xué)校對300名學(xué)生做了問卷調(diào)查,列聯(lián)表如下:

參加文體活動

不參加文體活動

合計(jì)

學(xué)習(xí)積極性高

180

學(xué)習(xí)積極性不高

60

合計(jì)

300

已知在全部300人中隨機(jī)抽取1人,抽到學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率為.

(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;

(2)是否有的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)積極性高與參加文體活動有關(guān)?請說明你的理由;

(3)若從不參加文體活動的同學(xué)中按照分層抽樣的方法選取5人,再從所選出的5人中隨機(jī)選取2人,求至少有1人學(xué)習(xí)積極性不高的概率.

附:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中.

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【題目】已知橢圓過點(diǎn),且其離心率為,過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別相交于兩點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.

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【題目】某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質(zhì),基地收益如下表所示:

周一

無雨

無雨

有雨

有雨

周二

無雨

有雨

無雨

有雨

收益

萬元

萬元

萬元

萬元

若基地額外聘請工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無雨時(shí)收益為萬元;有雨時(shí),收益為萬元.額外聘請工人的成本為萬元.

已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為萬元的概率為.

(Ⅰ)若不額外聘請工人,寫出基地收益的分布列及基地的預(yù)期收益;

(Ⅱ)該基地是否應(yīng)該外聘工人,請說明理由.

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【題目】給定正整數(shù),將分拆成若干個(gè)互異正整數(shù)的和,這些正整數(shù)的乘積記為.對所有不同的分法,求的最大值.

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【題目】將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,得曲線

1)求出的參數(shù)方程;

2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)是曲線上的一個(gè)動點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最小值.

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