Question

（理）已知函數(shù)f(x)= -lnx,x∈[1,3].
(Ⅰ)求f(x)的最大值與最小值；
(Ⅱ)若f(x)＜4-At對(duì)于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)求f(x)的最大值為最小值為；(Ⅱ)A<.

解析試題分析：（1）直接求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)為0，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用最值定理求出f（x）的最大值與最小值；
（2）利用（1）的結(jié)論，f（x）＜4-At于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，轉(zhuǎn)化為4-At＞對(duì)任意t∈[0，2]恒成立，通過(guò)　求實(shí)數(shù)A的取值范圍．
試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=﹣lnx，
所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，
因?yàn)閤∈[1，3]，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)  f′（x）＜0；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)減函數(shù)，在（2，3）上單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）在x=2處取得極小值f（2）=﹣ln2；
又f（1）=，f（3）=，
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x=1時(shí) f（x）的最大值為，
x=2時(shí)函數(shù)取得最小值為﹣ln2．
（2）由（1）知當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x），
故對(duì)任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，
只要4﹣At＞對(duì)任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立
記 g（t）=At，t∈[0，2]
∴，解得A，
∴實(shí)數(shù)A的取值范圍是（﹣∞，）．
考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．