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已知雙曲線C的中心在原點O，拋物線y2=的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線過點(1，).

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點，試問：

(1)k為何值時，⊥.

(2)是否存在實數k，m使A、B兩點關于直線y=mx對稱，若存在，求出k，m的值；若不存在，請說明理由.

解：(Ⅰ)由題意設雙曲線方程為=1,把(1,)代入得=1  (*)

又y2=x的焦點是(,0),故雙曲線的c2=a2+b2=與(*)聯立,消去b2可得4a4-21a2+5=0,(4a2-1)(a2-5)=0.∴a2=,a2=5(不合題意舍去) 

于是b2=l,∴雙曲線方程為4x2-y2=1 

(Ⅱ)由消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0  (*),

當△＞0,即(k≠±2)時,l與C有兩個交點A、B

(Ⅰ)設A(x1,y1),B(x2,y2),因,故=0 

即x1x2+y1y2=0,由(*)知x1+x2=,x1x2=,

代入可得+k2·+k·+1=0化簡得k2=2

∴k=,檢驗符合條件,故當k=±時,

(2)若存在實數k,m滿足條件,則必須

由(2),(3)得m(x1+x2)=k(x1+x2)+2  (4)

把x1+x2=代入(4)得mk=4這與(Ⅰ)的mk=-1矛盾,故不存在實數k,m滿足條件.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在坐標原點O，對稱軸為坐標軸，點（-2，0）是它的一個焦點，并且離心率為
2
3
3
．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點M（0，1），設P（x0，y0）是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點，求
MP
•
MQ
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在坐標原點，漸近線方程是3x±2y=0，左焦點的坐標為(-
13
，0)，A、B為雙曲線C上的兩個動點，滿足
OA
•
OB
=0．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求
1
|
OA
|2
+
1
|
OB
|2
的值；
（Ⅲ）動點P在線段AB上，滿足
OP
•
AB
=0，求證：點P在定圓上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在原點，焦點在坐標軸上，P（1，-2）是C上的點，且y=
2
x是C的一條漸近線，則C的方程為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求
DA
•
DB
的值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（M，N都不同于點E），且EM⊥EN，求證：直線MN與x軸的交點是一個定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理） 在平面直角坐標系中，已知雙曲線C的中心在原點，它的一個焦點坐標為(
5
，0)，
e1
=(2，1)、
e2
=(2，-1)分別是兩條漸近線的方向向量．任取雙曲線C上的點P，其中
op
=m
e1
+n
e2
（m，n∈R），則m，n滿足的一個等式是
4mn=1
4mn=1
．

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