已知雙曲線C的中心在坐標原點O，對稱軸為坐標軸，點（-2，0）是它的一個焦點，并且離心率為
2
3
3
．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點M（0，1），設(shè)P（x0，y0）是雙曲線C上的點，Q是點P關(guān)于原點的對稱點，求
MP
•
MQ
的取值范圍．
分析：（I）設(shè)雙曲線方程為
x2
a 2
-
y2
b 2
=1（a＞0，b＞0），依據(jù)題意，求出a、c、b的值，最后寫出雙曲線的標準方程和漸近線方程．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x0，-y0），根據(jù)向量的坐標運算寫出
MP
=(x0，y0-1)，
MQ
=(-x0，-y0-1)從而
MP
•
MQ
=-x02-y02+1再結(jié)合雙曲線的范圍得出x02≥3，從而求得
MP
•
MQ
的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為
x2
a 2
-
y2
b 2
=1（a＞0，b＞0），半焦距c，
依題意得　　
c
a
=
2
3
3
c=2
解得a=
3
，b=1，
∴所求雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x0，-y0），∴
MP
=(x0，y0-1)，
MQ
=(-x0，-y0-1)
∴
MP
•
MQ
=-x02-y02+1
，又
x 02
3
-y 02=1，
MP
•
MQ
=-
4
3
x
2
0
+2，由
x 02
3
-y 02=1可得，x02≥3，
MP
•
MQ
=-
4
3
x
2
0
+2≤-2故
MP
•
MQ
的取值范圍x≤-2．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用．解答的關(guān)鍵是對雙曲線標準方程的理解和向量運算的應用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在坐標原點，漸近線方程是3x±2y=0，左焦點的坐標為(-
13
，0)，A、B為雙曲線C上的兩個動點，滿足
OA
•
OB
=0．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求
1
|
OA
|2
+
1
|
OB
|2
的值；
（Ⅲ）動點P在線段AB上，滿足
OP
•
AB
=0，求證：點P在定圓上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在原點，焦點在坐標軸上，P（1，-2）是C上的點，且y=
2
x是C的一條漸近線，則C的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求
DA
•
DB
的值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（M，N都不同于點E），且EM⊥EN，求證：直線MN與x軸的交點是一個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理） 在平面直角坐標系中，已知雙曲線C的中心在原點，它的一個焦點坐標為(
5
，0)，
e1
=(2，1)、
e2
=(2，-1)分別是兩條漸近線的方向向量．任取雙曲線C上的點P，其中
op
=m
e1
+n
e2
（m，n∈R），則m，n滿足的一個等式是
4mn=1
4mn=1
．

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