Question

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D（1，0）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，

d

=(1，

2

)是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn) （A，B都不同于點(diǎn)D），求

DA

•

DB

的值；
（3）對(duì)于雙曲線Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點(diǎn)，M，N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)（M，N都不同于點(diǎn)E），且EM⊥EN，求證：直線MN與x軸的交點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，利用D（1，0）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，

d

=(1，

2

)是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量，可得幾何量，即可求雙曲線C的方程；
（2）分類討論，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用向量知識(shí)，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，由EM⊥EN，可得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，則a=1，
又

b

a

=

2

，得b=

2

，所以，雙曲線C的方程為x2-

y2

2

=1．
（2）解：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，其方程為x=-3，A，B的坐標(biāo)為（-3，4）、（-3，-4），

DA

=(-4，4)，

DB

=(-4，-4)，所以

DA

•

DB

=0．
當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)此直線方程為y=k（x+3），
由

y=k(x+3) 2x2-y2=2

得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

6k2

2-k2

，x1•x2=

-9k2-2

2-k2

，
故

DA

•

DB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1=(k2+1)

-9k2-2

2-k2

+(3k2-1)

6k2

2-k2

+9k²+1=0．
綜上，

DA

•

DB

=0．
（3）證明：設(shè)直線MN的方程為：x=my+t，
由

x=my+t b2x2-a2y2=a2b2

，得（b²m²-a²）y²+2b²mty+b²（t²-a²）=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

-2b2mt

b2m2-a2

，y1y2=

b2(t2-a2)

b2m2-a2

，分
由EM⊥EN，得（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，（my₁+t-a）（my₂+t-a）+y₁y₂=0
即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0，(1+m2)

b2(t2-a2)

b2m2-a2

-m(t-a)

2b2mt

b2m2-a2

+(t-a)2=0，
化簡(jiǎn)得，t=

a(a2+b2)

a2-b2

或t=a（舍），
所以，直線MN過(guò)定點(diǎn)（

a(a2+b2)

a2-b2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．