【題目】已知動圓過定點 ，且與定直線相切，動圓圓心的軌跡方程為，直線過點交曲線于兩點.

（1）若交軸于點，求的取值范圍；

（2）若的傾斜角為，在上是否存在點使為正三角形？若能，求點的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

【答案】(1) (2) 直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知曲線C是拋物線，可得拋物線方程，把直線方程代入拋物線方程得x的一元二次方程，同時設(shè)設(shè)，利用韋達(dá)定理得，用坐標(biāo)表示出，利用基本不等式并轉(zhuǎn)化為，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可得．

（2）假設(shè)存在點，使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|且|AE|=|AB|， 由拋物線定義知，這樣把|BE|= 和|AE|= 用坐標(biāo)表示，兩式相減就可解得，從而得E點坐標(biāo)，但檢驗發(fā)現(xiàn)此時，故剛才的解不正確，即不存在E點滿足題意．

試題解析：

（1）依題意，曲線C是以點P為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

所以曲線C的方程為

設(shè)方程為代入由消去得

設(shè)、，則

所以的取值范圍是

(2)由（1）知方程為代入由消去得

，

假設(shè)存在點，使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|且|AE|=|AB|，

即， ．

若，則

因此，直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形.

解法二：設(shè)AB的中點為G，則

由聯(lián)立方程

與方程求得

由得，矛盾

因此，直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)圖象如圖，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）

A.

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C.

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點睛：本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識的綜合運用。求解時充分借助題設(shè)中所提供的函數(shù)圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答。先將經(jīng)過兩切點的直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，再將經(jīng)過兩切點的直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，這個過程很容易發(fā)現(xiàn)，從而將問題化為直觀圖形的問題來求解。

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【結(jié)束】
9

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