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【題目】已知向量 =(3,﹣1),| |= , =﹣5, =x +(1﹣x)
(Ⅰ)若 ,求實數x的值;
(Ⅱ)當| |取最小值時,求 的夾角的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)設 =(m,n),
,
解得
=(﹣1,2)時,
=x(3,﹣1)+(1﹣x)(﹣1,2)=(4x﹣1,2﹣3x),
,
∴3(4x﹣1)﹣(2﹣3x)=0,
解得x= ,
=(﹣2,﹣1)時,
=x(3,﹣1)+(1﹣x)(﹣2,﹣1)=(5x﹣2,﹣1),
,
∴3(5x﹣2)+1=0,
解得x= ,
(Ⅱ)設 的夾角θ
由(Ⅰ)可知,當 =(﹣1,2)時, =(4x﹣1,2﹣3x),
則| |2=(4x﹣1)2+(2﹣3x)2=25x2﹣20x+5=25(x﹣ 2+1,
當x= 時,| |取最小值,則| |=1, =( , ),
=﹣ + =1,| |=
∴cosθ= =
=(﹣2,﹣1)時, =(5x﹣2,﹣1),
則| |2=(5x﹣2)2+(﹣1)2=25(x﹣ 2+1,
當x= 時,| |取最小值,則| |=1, =(0,﹣1),
=1,| |=
∴cosθ= =
【解析】(Ⅰ)根據向量的數量積和向量的模,先求出 ,再根據向量的垂直即可求出x的值,(Ⅱ)根據二次函數的性質即可求出x的值,再根據向量的夾角公式即可求出.

練習冊系列答案
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A.③
B.①③
C.②④
D.①③④

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A.(1, ]??
B.[9,+∞)??
C.(1, ]∪[9,+∞)??
D.[ , ]∪[9,+∞)

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