【題目】已知向量 =(3,﹣1),| |= , =﹣5, =x +(1﹣x) .
(Ⅰ)若 ,求實數x的值;
(Ⅱ)當| |取最小值時,求 與 的夾角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)設 =(m,n),
∴ ,
解得 或 ,
當 =(﹣1,2)時,
∴ =x(3,﹣1)+(1﹣x)(﹣1,2)=(4x﹣1,2﹣3x),
∵ ,
∴3(4x﹣1)﹣(2﹣3x)=0,
解得x= ,
當 =(﹣2,﹣1)時,
∴ =x(3,﹣1)+(1﹣x)(﹣2,﹣1)=(5x﹣2,﹣1),
∵ ,
∴3(5x﹣2)+1=0,
解得x= ,
(Ⅱ)設 與 的夾角θ
由(Ⅰ)可知,當 =(﹣1,2)時, =(4x﹣1,2﹣3x),
則| |2=(4x﹣1)2+(2﹣3x)2=25x2﹣20x+5=25(x﹣ )2+1,
當x= 時,| |取最小值,則| |=1, =( , ),
∴ =﹣ + =1,| |=
∴cosθ= =
當 =(﹣2,﹣1)時, =(5x﹣2,﹣1),
則| |2=(5x﹣2)2+(﹣1)2=25(x﹣ )2+1,
當x= 時,| |取最小值,則| |=1, =(0,﹣1),
∴ =1,| |=
∴cosθ= =
【解析】(Ⅰ)根據向量的數量積和向量的模,先求出 ,再根據向量的垂直即可求出x的值,(Ⅱ)根據二次函數的性質即可求出x的值,再根據向量的夾角公式即可求出.
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【題目】極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位,以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸.已知直線l的參數方程為 為參數).曲線C的極坐標方程為 .
(1)求直線l的傾斜角和曲線C的直角坐標方程;
(2)設直線C與曲線C交于A,B兩點,與x軸的交點為M,求 的值.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.
(1)在平面PAB內找一點M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°,求二面角P﹣CE﹣B的余弦值.
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【題目】設 .有序數組 經m次變換后得到數組 ,其中 , ( 1,2, ,n), , .
例如:有序數組 經1次變換后得到數組 ,即 ;經第2次變換后得到數組 .
(1)若 ,求 的值;
(2)求證: ,其中 1,2, ,n.(注:當 時, , 1,2, ,n,則 .)
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【題目】設函數 ,則下列結論正確的是( )
①f(x)的圖象關于直線 對稱
②f(x)的圖象關于點 對稱
③f(x)的圖象向左平移 個單位,得到一個偶函數的圖象
④f(x)的最小正周期為π,且在 上為增函數.
A.③
B.①③
C.②④
D.①③④
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【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,AB=PC=2, .
(1)求證:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
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【題目】已知函數f(x)=x3﹣6x2+9x,g(x)= x3﹣ x2+ax﹣ (a>1)若對任意的x1∈[0,4],總存在x2∈[0,4],使得f(x1)=g(x2),則實數a的取值范圍為( )
A.(1, ]??
B.[9,+∞)??
C.(1, ]∪[9,+∞)??
D.[ , ]∪[9,+∞)
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