Question

已知函數(shù)，.
(Ⅰ)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍. 注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

Answer 1

(Ⅰ)最小值，最大值；(Ⅱ) .

解析試題分析：(Ⅰ)將代入，得到.由于要去絕對(duì)值，所以將區(qū)間分為與兩段，分別得到解析式，從而得到導(dǎo)函數(shù)在上大于0，在上小于0.即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在根據(jù)單調(diào)性即可求出最值；(Ⅱ) 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3a/7/zkhao1.png" style="vertical-align:middle;" />,得,再分與兩種情況討論.其中時(shí)，為去絕對(duì)值，再分與兩種情況予以討論.再綜合各種情況得到滿足條件的的取值范圍是.
試題解析：(Ⅰ) 若，則.
當(dāng)時(shí)，，
，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上有最小值，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a4/2/1vhb21.png" style="vertical-align:middle;" />，
，而，
所以在區(qū)間上有最大值             .5分
(Ⅱ) 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3a/7/zkhao1.png" style="vertical-align:middle;" />．
由，得．           （*）
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，
不等式（*）恒成立，所以；               .7分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，由得，即，
現(xiàn)令， 則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ab/b/sja12.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故在上單調(diào)遞增，
從而的最小值為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b8/5/bzw4d2.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立等價(jià)于，
所以；                   .11
②當(dāng)時(shí)，