Question

【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．
（Ⅰ）求證：BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；
（Ⅲ）在線段CC1上是否存在點(diǎn)P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱，

∴AA1⊥平面ABCD，且ABCD為正方形．

∵BD平面ABCD，∴BD⊥AA1，BD⊥AC

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC．

∵A1C平面A1AC，

∴BD⊥A1C．

（Ⅱ）解：如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．

則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），

C1（0，2，4），D1（0，0，4），

∵ =（2，0，0）， =（0，2，﹣4）．

設(shè)平面A1D1C的法向量 =（x1，y1，z1）．

∴ ．即 ，

令z1=1，則y1=2．∴ =（0，2，1）．

由（Ⅰ）知平面AA1C的法向量為 =（2，2，0）

∴cos＜ ＞= = ．

∵二面角A﹣A1C﹣D1為鈍二面角，

∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值為﹣ ．

（Ⅲ）解：設(shè)P（x2，y2，z2）為線段CC1上一點(diǎn)，且 = ．

∵ =（x2，y2﹣2，z2）， =（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．

∴（x2，y2﹣2，z2）=λ（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．

即 ．

∴P（0，2， ）．

設(shè)平面PBD的法向量 ．

∵ ， ，

∴ ．即 ．

令y3=1，得 =（﹣1，1，﹣ ）．

若平面A1CD1⊥平面PBD，則 =0．

即2﹣ =0，解得 ．

所以當(dāng) = 時(shí)，平面A1CD1⊥平面PBD

【解析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BD⊥AA1，BD⊥AC，從而得到BD⊥平面A1AC，由此能證明BD⊥A1C．（Ⅱ） 以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值．（Ⅲ）設(shè)P（x2，y2，z2）為線段CC1上一點(diǎn)，且 = ，利用向量法能求出當(dāng) = 時(shí)，平面A1CD1⊥平面PBD．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的性質(zhì)和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．