【題目】已知函數(shù)有極值,且導函數(shù)的極值點是的零點。(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)
求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
證明:b>3a;
若, 這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求a的取值范圍。
【答案】(1),定義域為.(2)見解析(3).
【解析】試題分析:(1)先求導函數(shù)的極值: ,再代入原函數(shù)得,化簡可得,根據(jù)極值存在條件可得;(2)由(1)得,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,可得,即;(3)先求證的兩個極值之和為零,利用根與系數(shù)關(guān)系代入化簡即得,再研究導函數(shù)極值不小于,構(gòu)造差函數(shù),利用導數(shù)研究其單調(diào)性, 在上單調(diào)遞減.而,故可得的取值范圍.
試題解析:解:(1)由,得.
當時, 有極小值.
因為的極值點是的零點.
所以,又,故.
因為有極值,故有實根,從而,即.
時, ,故在R上是增函數(shù), 沒有極值;
時, 有兩個相異的實根, .
列表如下
x | |||||
+ | 0 | – | 0 | + | |
極大值 | 極小值 |
故的極值點是.
從而,
因此,定義域為.
(2)由(1)知, .
設(shè),則.
當時, ,從而在上單調(diào)遞增.
因為,所以,故,即.
因此.
(3)由(1)知, 的極值點是,且, .
從而
記, 所有極值之和為,
因為的極值為,所以, .
因為,于是在上單調(diào)遞減.
因為,于是,故.
因此a的取值范圍為.
點睛:涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,一般先通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況,歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值,然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司2005~2010年的年利潤x(單位:百萬元)與年廣告支出y(單位:百萬元)的統(tǒng)計資料如表所示:
年份 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
利潤x | 12.2 | 14.6 | 16 | 18 | 20.4 | 22.3 |
支出y | 0.62 | 0.74 | 0.81 | 0.89 | 1 | 1.11 |
根據(jù)統(tǒng)計資料,則( )
A.利潤中位數(shù)是16,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系
B.利潤中位數(shù)是18,x與y有負線性相關(guān)關(guān)系
C.利潤中位數(shù)是17,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系
D.利潤中位數(shù)是17,x與y有負線性相關(guān)關(guān)系
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知a=2,c= ,cosA=﹣ .
(1)求sinC和b的值;
(2)求cos(2A+ )的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(4,3), =(2,﹣1),O為坐標原點,P是直線AB上一點.
(1)若點P是線段AB的中點,求向量 與向量 夾角θ的余弦值;
(2)若點P在線段AB的延長線上,且| |= | |,求點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]在平面坐標系中xOy中,已知直線l的參考方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))。設(shè)p為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1C1C為正方形,側(cè)面AA1B1B⊥側(cè)面BB1C1C,且AC=2,AB= ,∠A1AB=45°,E、F分別為AA1、CC1的中點.
(1)求證:AA1⊥平面BEF;
(2)求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣x+3. (Ⅰ)求f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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