為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2  m的無蓋長方體沉淀箱.污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出.設(shè)箱體的長度為 a m，高度為b m，如圖所示.已知流出的水中含雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60 m2，問：當(dāng)a，b各為多少時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最��？（A、B兩孔的面積忽略不計）

思路解析：用a、b表示流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，找到a、b的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型求最值.

解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=,其中k＞0，為比例系數(shù).依題意，即所求的a，b值使y值最小.

根據(jù)題設(shè)有4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),得b=(0＜a＜30).                          ①

于是y===

=≥

=.

當(dāng)a+2=時，取等號，y達(dá)到最小值,這時a=6，a=-10（舍去）.

將a=6代入①式，得b=3.

故當(dāng)a為6 m，b為3 m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

解法二：依題意，當(dāng)ab最大時，流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

由題設(shè)知4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),即a+2b+ab=30(a＞0,b＞0).

∵a+2b≥2·,

∴2Equation.3+ab≤30,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時，上式取等號.

設(shè)=t(t＞0),則ab=t2.∴t2+2t-30≤0.解得0＜t≤3.

∵ab=t2,∴0＜ab≤18,

即當(dāng)a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18.

∴2b2=18.

解得b=3,a=6.

故當(dāng)a為6 m，b為3 m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

評注：解法一觀察到題目有“已知流出的水中含雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比”，這樣建立函數(shù)關(guān)系y=(k＞0)，再利用箱體材料60 m2的限制得出4b+2ab+2a=60，這時，在條件4b+2ab+2a=60下，求y的最小值.

解法二是考慮到“已知流出的水中含雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與ab成反比”.那么要求流出水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小，只需求ab的最大值即可.解法二是最優(yōu)解法.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出．設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米．問當(dāng)a，b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。�A、B孔的面積忽略不計）？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從孔流入，經(jīng)沉淀后從孔流出，設(shè)箱體的長為米，高為米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與，的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)，各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。�，孔的面積忽略不計）．

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如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,b的乘積ab成反比�，F(xiàn)有制箱材料60平方米。問當(dāng)a,b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。�A、B孔的面積忽略不計）。

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