Question

為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計(jì)）？

Answer 1

當(dāng)a=6,b=3時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

解析:

解法一:設(shè)經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，則由條件y=(k＞0為比例系數(shù))其中a、b滿足2a+4b+2ab=60       ①

要求y的最小值，只須求ab的最大值.

由①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)且ab=30–(a+2b)

應(yīng)用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥

∴ab≤18，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)等號成立

將a=2b代入①得a=6,b=3.

故當(dāng)且僅當(dāng)a=6,b=3時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

解法二:由2a+4b+2ab=60,得,

記(0＜a＜30)則要求y的最小值只須求u的最大值.

由，令u′=0得a=6

且當(dāng)0＜a＜6時(shí)，u′＞0，當(dāng)6＜u＜30時(shí)u′＜0,

∴在a=6時(shí)取最大值，此時(shí)b=3.

從而當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=3時(shí),y=取最小值.