【題目】已知橢圓C： =1過點(diǎn)A（2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程及離心率；
（2）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．

【答案】
（1）

解：∵橢圓C： =1過點(diǎn)A（2，0），B（0，1）兩點(diǎn)，

∴a=2，b=1，則 = ，

∴橢圓C的方程為 ，離心率為e=


（2）

證明：如圖，

設(shè)P（x0，y0），則 ，PA所在直線方程為 ，

取x=0，得 ；

，PB所在直線方程為 ，

取y=0，得 ．

∴|AN|= ，

|BM|=1﹣ ．

∴ = = =

= = ．

∴四邊形ABNM的面積為定值2．


【解析】（1）由題意可得a=2，b=1，則 ，則橢圓C的方程可求，離心率為e= ；（2）設(shè)P（x0 ， y0），求出PA、PB所在直線方程，得到M，N的坐標(biāo)，求得|AN|，|BM|．由 ，結(jié)合P在橢圓上求得四邊形ABNM的面積為定值2．；本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力與推理論證能力，是中檔題．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函數(shù)．

（Ⅰ）求常數(shù)k的值；

（Ⅱ）若a＞1，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；

（Ⅲ）若a=2，且函數(shù)g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[0，1]上的最小值為1，求實(shí)數(shù)m的值．

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【題目】橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）當(dāng)的面積為時(shí)，求直線的方程.

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【題目】由，，，排列而成的項(xiàng)數(shù)列滿足：每項(xiàng)都大于它之前的所有項(xiàng)或者小于它之前的所有項(xiàng)．

（）滿足條件的數(shù)列中，寫出所有的單調(diào)數(shù)列．

（）當(dāng)時(shí)，寫出所有滿足條件的數(shù)列．

（）滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論．

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1，1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)

A. (0,1) B. C. D. (－∞，－2)∪(1，＋∞)

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【題目】已知函數(shù),若,則恒成立時(shí)的范圍是(　　)

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)， .

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(2)若不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

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【題目】對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A：a1，a2，…，an，定義變換T1，T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1(A)：n，a1－1，a2－1，…，an－1.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B：b1，b2，…，bm，定義變換T2，T2將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列T2(B)．又定義S(B)＝2(b1＋2b2＋…＋mbm)＋＋＋…＋.設(shè)A0是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令Ak＋1＝T2(T1(Ak))(k＝0,1,2，…)．

(1)如果數(shù)列A0為2,6,4,8，寫出數(shù)列A1，A2；

(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明：S(T1(A))＝S(A)；

(3)證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0，存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時(shí)，S(Ak＋1)＝S(Ak)．

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