Question

【題目】設(shè)a，b∈Z，若對任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，則a+b=______．

Answer 1

【答案】-1

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)f（x）=ax+2，g（x）=x2+2b，分析可得b＜0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得在（-∞，），g（x）＞0，在（，0），g（x）＜0；又由（ax+2）（x2+2b）≤0，分析可得對于f（x）=ax+2，在（-∞，），f（x）＜0，在（，0），f（x）＞0；進(jìn)而可得有f（）=（-a）×+2=0，結(jié)合a，b∈Z，分析可得答案．

解：根據(jù)題意，設(shè)f（x）=ax+2，g（x）=x2+2b，

當(dāng)b≥0時，g（x）=x2+2b≥0，而f（x）=ax+2≤0不可能在（-∞，0]上恒成立，

必有b＜0，

對于g（x）=x2+2b，b＜0，

在（-∞，），g（x）＞0，在（，0），g（x）＜0；

若（ax+2）（x2+2b）≤0，

則對于f（x）=ax+2，在（-∞，），f（x）＜0，在（，0），f（x）＞0；

而f（x）為一次函數(shù)，則必有f（）=（-a）×+2=0，且a＞0，

變形可得：a2（-b）=2，

又由a，b∈Z，則a=1，b=-2；

故a+b=-1；

故答案為：-1．