【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),記的最小值為,求證:.
【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2) 見解析.
【解析】
(Ⅰ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),代入?yún)?shù)a的值,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性得到,,由得:
,構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得到函數(shù)的最值.
(Ⅰ)的定義域是,
.
當(dāng)時(shí),,
因?yàn)楹瘮?shù),單調(diào)遞增,且,
所以:當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
所以:函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為:,單調(diào)遞增區(qū)間為:;
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)得的定義域是,
,
令,則,
在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?/span>,
所以,,
故存在,使得,
當(dāng)時(shí),,故,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,故,單調(diào)遞增;
故時(shí),取得最小值,
即,
由得:
,
令,,則
,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
故,即時(shí),取最大值1,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)求的值域;
(2)若存在唯一的整數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若四面體的三組對(duì)棱分別相等,即,給出下列結(jié)論:
①四面體每組對(duì)棱相互垂直;
②四面體每個(gè)面的面積相等;
③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于;
④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________. (寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列4個(gè)命題,其中正確命題的序號(hào)____________.
①;
②函數(shù)有個(gè)零點(diǎn);
③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。
④已知,函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),則的最小值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線向左平移2個(gè)單位,再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)已知點(diǎn)在第一象限,四邊形是曲線的內(nèi)接矩形,求內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值,并求周長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)某地100名高中學(xué)生在選擇座位時(shí)是否挑同桌,得到如下列聯(lián)表:
男生 | 女生 | 合計(jì) | |
挑同桌 | 30 | 40 | 70 |
不挑同桌 | 20 | 10 | 30 |
總計(jì) | 50 | 50 | 100 |
Ⅰ從這50名男生中按是否挑同桌采取分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本,現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取3人做深度采訪,求這3名學(xué)生中至少有2名要挑同桌的概率;
Ⅱ根據(jù)以上列聯(lián)表,是否有以上的把握認(rèn)為“性別與在選擇座位時(shí)是否挑同桌”有關(guān)?
下面的臨界值表供參考:
參考公式: ,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn),使得直線與平面所成的角為300?如果存在,求出線段的長(zhǎng);如果不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A(4,t)到其焦點(diǎn)F的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F作直線l,使得拋物線C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線1的距離為2,求直線1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直線l:x﹣y+3=0.當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為時(shí),求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)(3,5)并與圓C相切的切線方程.
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