【題目】已知圓C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直線l:x﹣y+3=0.當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為時(shí),求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)(3,5)并與圓C相切的切線方程.
【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)5x﹣12y+45=0或x=3.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑,然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d,然后根據(jù)垂徑定理得到弦心距,弦的一半及圓的半徑成直角三角形,利用勾股對(duì)了列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然后由a大于0,得到滿足題意a的值;
(Ⅱ)把(Ⅰ)求出a的值代入圓的方程中確定出圓的方程,即可得到圓心的坐標(biāo),并判斷得到已知點(diǎn)在圓外,分兩種情況:當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),得到x=3為圓的切線;當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線的斜率為k,由(3,5)和設(shè)出的k寫出切線的方程,根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,讓d等于圓的半徑即可列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所設(shè)的切線方程即可確定出切線的方程.綜上,得到所有滿足題意的切線的方程.
解:(Ⅰ)依題意可得圓心C(a,2),半徑r=2,
則圓心到直線l:x﹣y+3=0的距離,
由勾股定理可知,代入化簡(jiǎn)得|a+1|=2,
解得a=1或a=﹣3,
又a>0,所以a=1;
(Ⅱ)由(1)知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,圓心坐標(biāo)為(1,2),圓的半徑r=2
由(3,5)到圓心的距離為r=2,得到(3,5)在圓外,
∴①當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y﹣5=k(x﹣3)
由圓心到切線的距離dr=2,
化簡(jiǎn)得:12k=5,可解得,
∴切線方程為5x﹣12y+45=0;
②當(dāng)過(guò)(3,5)斜率不存在直線方程為x=3與圓相切.
由①②可知切線方程為5x﹣12y+45=0或x=3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離比為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線E的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q為曲線E與軸正半軸的交點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線,與曲線E相交于異于點(diǎn)的不同兩點(diǎn),點(diǎn)C滿足,直線和分別與以C為圓心,為半徑的圓相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,求△QAC與△QBC的面積之比的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4:5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】住在同一城市的甲、乙兩位合伙人,約定在當(dāng)天下午4:20-5:00間在某個(gè)咖啡館相見(jiàn)商談合作事宜,他們約好當(dāng)其中一人先到后最多等對(duì)方10分鐘,若等不到則可以離去,則這兩人能相見(jiàn)的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與拋物線交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為曲線:上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某科技創(chuàng)新公司在第一年年初購(gòu)買了一臺(tái)價(jià)值昂貴的設(shè)備,該設(shè)備的第1年的維護(hù)費(fèi)支出為20萬(wàn)元,從第2年到第6年,每年的維修費(fèi)增加4萬(wàn)元,從第7年開(kāi)始,每年維修費(fèi)為上一年的125%.
(1)求第n年該設(shè)備的維修費(fèi)的表達(dá)式;
(2)設(shè),若萬(wàn)元,則該設(shè)備繼續(xù)使用,否則須在第n年對(duì)設(shè)備更新,求在第幾年必須對(duì)該設(shè)備進(jìn)行更新?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是菱形,底面,分別是的中點(diǎn),,,.
(I)證明:;
(II)求直線與平面所成角的正弦值;
(III)在邊上是否存在點(diǎn),使與所成角的余弦值為,若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合,從集合中取出個(gè)不同元素,其和記為;從集合中取出個(gè)不同元素,其和記為.若,則的最大值為____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體中,點(diǎn),,分別在棱,,上,且,,(其中),若平面與線段的交點(diǎn)為,則( )
A. B. C. D.
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