Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小；
（2）解不等式f(x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)；
（3）如果g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c²）這兩個(gè)函數(shù)的定義域的交集是空集，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先證明函數(shù)的單調(diào)性，由奇定義和題設(shè)條件易得函數(shù)是增函數(shù)，由單調(diào)性比較兩個(gè)函數(shù)值的大小即可；
（2）（1）由（1）函數(shù)f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)上的增函數(shù)，可將不等式f(x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)轉(zhuǎn)化為

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜x- 1 4

，解出它的解集即可得到不等式的解集；
（3）由題意，要先解出兩個(gè)函數(shù)的定義域，得P={x|-1≤x-c≤1}=x|c-1≤x≤c+1}，Q={x|-1≤x-c²≤1}={x|c²-1≤x≤c²+1}． 由于此兩個(gè)集合的解集是空集，比較兩個(gè)集合的端點(diǎn)，得到關(guān)于參數(shù)c的不等式，解出c的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，由奇函數(shù)的定義和題設(shè)條件，得
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

(x2-x1)＞0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
∵a，b∈[-1，1]，且a＞b，
∴f（a）＞f（b）．
（2）∵f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)，
∴不等式f(x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)等價(jià)于

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜x- 1 4

?

- 1 2 ≤x≤ 3 2 - 3 4 ≤x≤ 5 4

解得-

1

2

≤x≤

5

4

∴原不等式的解集是{x|-

1

2

≤x≤

5

4

}．
（3）設(shè)函數(shù)g（x），h（x）的定義域分別是P和Q，
則P={x|-1≤x-c≤1}=x|c-1≤x≤c+1}，
Q={x|-1≤x-c²≤1}={x|c²-1≤x≤c²+1}．
由P∩Q=∅可得c+1＜c²-1或c²+1＜c-1．
解得c的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了單調(diào)性的判斷，利用單調(diào)性比較大小，解不等式，求函數(shù)定義域及根據(jù)兩集合間的包含關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍，本題是單調(diào)性運(yùn)用綜合題，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握單調(diào)性在比較大小與解不等式中的運(yùn)用，本題中有一易錯(cuò)點(diǎn)，在第二小題中，易忘記定義域的限制條件，只由單調(diào)性轉(zhuǎn)化出一個(gè)不等式，從而解出x-

1

2

＜x-

1

4

得到解集是R，轉(zhuǎn)化時(shí)一定要注意等價(jià)．本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，判斷推理的能力及計(jì)算能力