Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，直線y=

1

2

x+1與橢圓相交于A，B兩點，點M在橢圓上，

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

．求橢圓的方程．

Answer 1

分析：由e=

3

2

，則a²=4b²，將y=

1

2

x+1代入上式，消去y整理可得x²+2x+2-2b²=0（*），則△=4-4（2-b²）＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則由

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

得

x= 1 2 (x1+ 3 x2) y= 1 2 (y1+ 3 y2)

，M在橢圓上代入結合（*）可求橢圓的方程

解答：解：由e=

3

2

，則a²=4b²，橢圓可以轉化為：x²+4y²=4b²
將y=

1

2

x+1代入上式，消去y，得：x²+2x+2-2b²=0
直線y=

1

2

x+1與橢圓相交有兩個不同的點A，B
則△=4-4（2-b²）＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
則

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

得

x= 1 2 (x1+ 3 x2) y= 1 2 (y1+ 3 y2)

又因為M在橢圓上，所以

(x1+ 3 x2)2

4

+( y1+

3

y2)2 =4b2
代入整理可得，x₁x₂+4y₁y₂=0
所以，x1x2+4(1+

1

2

x1)(1+

1

2

 x2)=0
x₁x₂+x₁+x₂+2=0
因為，x₁+x₂=-2，x₁x₂=2-2b²，所以b²=1
所以

x2

4

+y2=1

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線域橢圓上的相交的位置關系的應用，方程思想的應用，屬于基礎知識的應用．