【題目】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)(點(diǎn)均在第一象限),且直線的斜率成等比數(shù)列,證明:直線的斜率為定值.
【答案】(1) ;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(1)根據(jù)橢圓的離心率和所過的點(diǎn)得到關(guān)于的方程組,解得后可得橢圓的方程.(2)由題意設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程,根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得直線的斜率,再根據(jù)題意可得,根據(jù)此式可求得,為定值.
試題解析:
(1)由題意可得,解得.
故橢圓的方程為.
(2)由題意可知直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,
由,消去整理得,
∵直線與橢圓交于兩點(diǎn),
∴.
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
則,
∴.
∵直線的斜率成等比數(shù)列,
∴,
整理得,
∴,
又,所以,
結(jié)合圖象可知,故直線的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, ,平面底面, 為中點(diǎn), 是棱上的點(diǎn), .
(Ⅰ)若點(diǎn)是棱的中點(diǎn),求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若二面角為,設(shè),試確定的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的最小值.
(Ⅱ)若在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),
(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ii)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值,并指出是極大值還是極小值;
(2)若,求證:在區(qū)間上,函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,,且分別為線段的中點(diǎn),沿把折起,使,得到如下的立體圖形.
(1)證明:平面平面;
(2)若,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年10月18日至10月24日,中國共產(chǎn)黨第十九次全國代表大會(huì)簡稱黨的“十九大”在北京召開一段時(shí)間后,某單位就“十九大”精神的領(lǐng)會(huì)程度隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行問卷調(diào)查,調(diào)查問卷共有20個(gè)問題,每個(gè)問題5分,調(diào)查結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)這100名員工的成績都在內(nèi),按成績分成5組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知甲、乙、丙分別在第3,4,5組,現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第3,4,5組共選取6人對(duì)“十九大”精神作深入學(xué)習(xí).
求這100人的平均得分同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表;
求第3,4,5組分別選取的作深入學(xué)習(xí)的人數(shù);
若甲、乙、丙都被選取對(duì)“十九大”精神作深入學(xué)習(xí),之后要從這6人隨機(jī)選取2人再全面考查他們對(duì)“十九大”精神的領(lǐng)會(huì)程度,求甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間有5名工人其中初級(jí)工2人,中級(jí)工2人,高級(jí)工1人現(xiàn)從這5名工人中隨機(jī)抽取2名.
Ⅰ求被抽取的2名工人都是初級(jí)工的概率;
Ⅱ求被抽取的2名工人中沒有中級(jí)工的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】省環(huán)保廳對(duì)、、三個(gè)城市同時(shí)進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè),測(cè)得三個(gè)城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個(gè),三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)如下表所示:
城 | 城 | 城 | |
優(yōu)(個(gè)) | 28 | ||
良(個(gè)) | 32 | 30 |
已知在這180個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè),恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.
(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個(gè)數(shù)據(jù)中抽取30個(gè)進(jìn)行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù);
(2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn), 為橢圓:上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn).
(Ⅰ)求證:直線、的斜率之積為-;
(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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