【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若存在x1<x2,且滿足f(x1)=(x2).證明;
(3)證明:(n∈N).
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析
【解析】
(1)求出,對(duì)分類討論,求出的解,即可得出結(jié)論;
(2)由(1)可得a>0,且x1<lna<x2,問題轉(zhuǎn)化為證明,等價(jià)于證明,即證,即證f(x2)>f(2lna﹣x2),
構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)﹣f(2lna﹣x),x∈(lna,+∞),即可證明結(jié)論;
(3)對(duì)比證明不等式與的解析式關(guān)系,令,令,將不等式左式放縮為等比數(shù)列的和,即可證明結(jié)論.
(1)f′(x)=ex﹣a,
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,+∞)上遞增,
當(dāng)a>0時(shí),x>lna時(shí),f′(x)>0,f(x)在(lna,+∞)上遞增,
x<lna時(shí),f′(x)<0,f(x)在(﹣∞,lna)上遞減;
(2)由(1)知,a>0,且x1<lna<x2,
記h(x)=f(x)﹣f(2lna﹣x),x∈(lna,+∞),
則h′(x)2+(a﹣1)2﹣1>0,
所以h(x)在(lna,+∞)上遞增,則h(x)>h(lna)=0,
所以f(x)>f(2lna﹣x),則f(x2)>f(2lna﹣x2),
因?yàn)?/span>f(x2)=f(x1),f(x1)>f(2lna﹣x2),
,
,所以;
(3)由(1)可知a=e時(shí),f(x)≥f(lne)=0,
所以ex≥ex,所以ex﹣1≥x,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),
令x=2n(n∈N),,當(dāng)n=0時(shí)取等號(hào),
則(n∈N).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識(shí),某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者,從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽樣100名志原者的年齡情況如下表所示.
(Ⅰ)頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖),再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù);
(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng),從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3+2S6=77,a10﹣a5=10.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足:b1=1,bn﹣bn﹣1=an﹣n+1(n≥2),求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且b1=a1=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ﹣sinθ.
(1)求直線l被曲線C所截得的弦長(zhǎng);
(2)若M(x,y)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求x+y的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,均為各項(xiàng)都不相等的數(shù)列,為的前n項(xiàng)和,.
若,求的值;
若是公比為的等比數(shù)列,求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
若的各項(xiàng)都不為零,是公差為d的等差數(shù)列,求證:,,,,成等差數(shù)列的充要條件是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,與y軸正半軸交于點(diǎn)B,若△BF1F2為等腰直角三角形,且直線BF1被圓x2+y2=b2所截得的弦長(zhǎng)為2,
(1)求橢圓的方程;
(2)直線l:y=kx+m與橢圓交于點(diǎn)A,C,線段AC的中點(diǎn)為M,射線MO與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)O為△PAC的重心,求證:△PAC的面積S為定值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,a∈R.
(1)寫出函數(shù) f(x)的最小正周期(不必寫出過程);
(2)求函數(shù) f(x)的最大值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,kπ)(k∈N*)上恰有2015個(gè)零點(diǎn),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB=2,F為CD的中點(diǎn).
(1)求證:面BCE⊥面DCE;
(2)求二面角C﹣BE﹣F的余弦值.
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