【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx﹣1,若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與直線2x+y﹣1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)函數(shù)g(x)=f(x)﹣m(x﹣1)(m∈R)恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2(x1<x2),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間及實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞)

,且 ,解得a=1.


(2)解:因?yàn)間(x)=(1﹣m)(x﹣1)﹣lnx,x∈(0,+∞)

(ⅰ)當(dāng)1﹣m≤0即m≥1時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減

此時(shí)只存在一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

(ⅱ)當(dāng)m<1時(shí),令g'(x)=0,解得

當(dāng)x變化時(shí),g(x)與g'(x)的變化情況如下表:

x

(0,

g'(x)

0

+

g(x)

極小值

由題意可知,

下面判斷極小值的正負(fù).

設(shè)h(m)=m+ln(1﹣m),m<1

①當(dāng)m=0時(shí),h(0)=0,即g(x)極小=0

此時(shí)g(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)不合題意

②當(dāng)m≠0且m<1時(shí),

當(dāng)m<0時(shí),h'(m)>0; 當(dāng)0<m<1時(shí),h'(x)<0

所以h(m)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,1)單調(diào)遞減.

所以h(m)<h(0)=0,此時(shí)g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上,m的取值范圍是(﹣∞,0)∪(0,1).


【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù) ,求出a的值即可;(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論m的范圍結(jié)合g(x)的單調(diào)性,求出g(x)的極小值,結(jié)合極小值的正負(fù),求出m的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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t

男同學(xué)人數(shù)

7

11

15

12

2

1

女同學(xué)人數(shù)

8

9

17

13

3

2

若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱(chēng)為“讀書(shū)迷”.

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(2)從已抽取的8名“讀書(shū)迷”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加讀書(shū)日宣傳活動(dòng).

(i)求抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率;

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B.[15,+∞)
C.[28,+∞)
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(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定:每毫升血液中含藥量不少于 微克時(shí),治療有效,求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)?

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