【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=AD= CD=1,如圖2,將△ABD沿BD折起來,使平面ABD⊥平面BCD,設(shè)E為AD的中點,F(xiàn)為AC上一點,O為BD的中點.
(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;、
(Ⅱ)若三棱錐A﹣BEF的體積為 ,求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的絕對值.

【答案】證明:在圖1中,取CD的中點E,連結(jié)BE, ∵AB∥DC,∠BAD=90°,AB=AD= CD=1,
∴BE=DE=CE=1,BE⊥CD,
∴∠DBE=∠CBE=45°,
∴BC⊥BD,
又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC平面BCD,
∴BC⊥平面ABD,∵AO平面ABD,
∴AO⊥BC,
∵AB=AD,O是BD的中點,
∴AO⊥BD,又BD∩BC=B,BD平面BCD,BC平面BCD,
∴AO⊥平面BCD.

(II)解:設(shè)F到平面ABD的距離為h,
則VABEF=VFABE= = = ,∴h=
∴CF= CA.
由(I)可知OE⊥BD,以O(shè)為原點,以O(shè)D,OE,OA為坐標軸建立空間直角坐標系O﹣xyz,
則A(0,0, ),B(﹣ ,0,0),E( ,0, ),C(﹣ , ,0),
=( ,0, ), =(0, ,0), =( ,﹣ , ),
= = =( , ),
設(shè)平面BEF的法向量為 =(x,y,z),則
,令x=1得 =(1, ,﹣3),
∵BC⊥平面ABD,∴ =(0, ,0)是平面ABD的一個法向量,
∴cos< >= = =
∴二面角A﹣BE﹣F的余弦值的絕對值為

【解析】(I)由面面垂直可得BC⊥平面ABD,故而BC⊥AO,結(jié)合AO⊥BD即可得出AO⊥平面BCD;(II)根據(jù)棱錐的體積得出F的位置,建立空間坐標系,求出兩平面的法向量,則兩法向量的夾角的余弦的絕對值即為所求.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定,需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想才能得出正確答案.

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