Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足：①對于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；②當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析表達(dá)式；
（2）解方程f（x）=2x．

Answer 1

分析：由f（-x）+f（x）=0可知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式即可．然后根據(jù)分段函數(shù)求解方程．

解答：解：（1）∵f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-3．
∴f（-x）=x²-3，
∵函數(shù)f（x）是R上奇函數(shù)，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
∴f（-x）=x²-3=-f（x），
即f（x）=-x²+3，x＜0．
即f（x）=

x2-3，x＞0 0，x=0 -x2+3，x＜0

．
（2）∵f（x）=

x2-3，x＞0 0，x=0 -x2+3，x＜0

．
∴當(dāng)x＞0時，由f（x）=2x，得x²-3=2x，即x²-2x-3=0，
解得x=-1（舍去）或x=3．
當(dāng)x=0時，由f（x）=2x，得0=0成立，此時x=0．
當(dāng)x＜0時，由f（x）=2x，得-x²+3=2x，即x²+2x-3=0，
解得x=1（舍去）或x=-3．
綜上方程f（x）=2x的解為x=3，或x=0或x=-3．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及方程的求解，注意要對x進(jìn)行分類討論．