【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,平面 為等腰直角三角形,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的余弦值;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1); (2).
【解析】
(1)設(shè)AD的中點(diǎn)為G,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用向量數(shù)量積得夾角,即得結(jié)果,(2)利用方程組解得平面PBD的法向量,利用向量數(shù)量積得法向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.
(1)如圖,設(shè)AD的中點(diǎn)為G,連接PG,因?yàn)?/span>為等腰直角三角形,=90,所以.又平面平面ABCD,所以平面ABCD.
以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GA,GP所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
可得A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),則E(,1,),F(-,1,),
所以,.故,
故異面直線ED與BF所成角的余弦值為.
(2)由(1)知,,設(shè)平面PBD的法向量為,
則 所以令
所以平面PBD的一個(gè)法向量為=(1,-1,-1).
易知平面ABD的一個(gè)法向量為=(0,0,1),
所以,
由圖可知,二面角A-BD-P為銳二面角,
所以二面角A-BD-P的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中),.它的最小正周期為,,且的最大值為2.
(1)求的解析式;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次猜燈謎活動(dòng)中,共有20道燈謎,兩名同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜,甲同學(xué)猜對(duì)了12個(gè),乙同學(xué)猜對(duì)了8個(gè),假設(shè)猜對(duì)每道燈謎都是等可能的,試求:
(1)任選一道燈謎,恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率;
(2)任選一道燈謎,甲、乙都沒(méi)有猜對(duì)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由于疫情影響,今年我們學(xué)校開展線上教學(xué),高一年級(jí)某班班主任為了了解學(xué)生上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間,對(duì)本班40名學(xué)生某天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,將數(shù)據(jù)(取整數(shù))整理后,繪制出如圖所示頻率分布直方圖,已知從左到右各個(gè)小組的頻率分別是0.15,0.25,0.35,0.20,0.05,則根據(jù)直方圖所提供的信息.
(1)這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘之間的學(xué)生有多少人?
(2)這40位同學(xué)的線上平均學(xué)習(xí)時(shí)間是多少?
(3)如果只用這40名學(xué)生這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級(jí)全體學(xué)生該天的上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間,這樣推斷是否合理?為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解校園噪音情況,學(xué)校環(huán)保協(xié)會(huì)對(duì)校園噪音值(單位:分貝)進(jìn)行了天的監(jiān)測(cè),得到如下統(tǒng)計(jì)表:
噪音值(單位:分貝) | ||||||
頻數(shù) |
(1)根據(jù)該統(tǒng)計(jì)表,求這天校園噪音值的樣本平均數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點(diǎn)值作代表).
(2)根據(jù)國(guó)家聲環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn):“環(huán)境噪音值超過(guò)分貝,視為重度噪音污染;環(huán)境噪音值不超過(guò)分貝,視為度噪音污染.”如果把由上述統(tǒng)計(jì)表算得的頻率視作概率,回答下列問(wèn)題:
(i)求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.
(ii)學(xué)校要舉行為期天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽,把這天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為,求的分布列和方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l.
(1)若α=75°,R=12 cm,求扇形的弧長(zhǎng)l和面積;
(2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)為( )
①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本.
②盒子里共有80個(gè)零件,從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣操作時(shí),從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里.
③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).
④某班有56名同學(xué),指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)2017年招聘員工,其中A、B、C、D、E五種崗位的應(yīng)聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例(精確到1%)如下:
(Ⅰ)從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)選擇1人,試估計(jì)此人被錄用的概率;
(Ⅱ)從應(yīng)聘E崗位的6人中隨機(jī)選擇1名男性和1名女性,求這2人均被錄用的概率;
(Ⅲ)表中A、B、C、D、E各崗位的男性、女性錄用比例都接近(二者之差的絕對(duì)值不大于5%),但男性的總錄用比例卻明顯高于女性的總錄用比例.研究發(fā)現(xiàn),若只考慮其中某四種崗位,則男性、女性的總錄用比例也接近,請(qǐng)寫出這四種崗位.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),且,
(I) 求點(diǎn)的坐標(biāo);
(II)以為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn),延長(zhǎng)分別交拋物線于兩點(diǎn);
①求直線的斜率;
②延長(zhǎng)交軸于點(diǎn),若,求的值.
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