【題目】已知中心在原點的橢圓C的左焦點F(﹣ ,0),右頂點A(2,0).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)斜率為 的直線l與橢圓C交于A、B兩點,求弦長|AB|的最大值及此時l的直線方程.

【答案】
(1)解:由題意可知:c= ,a=2,∴b2=a2﹣c2=1.

∵焦點在x軸上,

∴橢圓C的方程為:


(2)解:設(shè)直線l的方程為y= x+b,由 ,

可得x2+2bx+2b2﹣2=0,

∵l與橢圓C交于A、B兩點,

∴△=4b2﹣4(2b2﹣2)≥0,即b2≤2.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=﹣2b,x1x2=2b2﹣2.

∴弦長|AB|= = ,

∵0≤b2≤2,

∴|AB|= ,

∴當b=0,即l的直線方程為y= x時,弦長|AB|的最大值為


【解析】(1)由已知根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可求出a、b的值進而得到橢圓的方程。(2)聯(lián)立直線和橢圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程,設(shè)出A、B兩點的坐標根據(jù)韋達定理得到x1+x2和x1x2 關(guān)系式,代入弦長公式即可求出結(jié)果,利用橢圓自身的范圍限制得到b的取值范圍,進而得到弦長|AB|的最大值以及直線的方程。
【考點精析】認真審題,首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:).

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】脫貧是政府關(guān)注民生的重要任務(wù),了解居民的實際收入狀況就顯得尤為重要.現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取個農(nóng)戶,考察每個農(nóng)戶的年收入與年積蓄的情況進行分析,設(shè)第個農(nóng)戶的年收入(萬元),年積蓄(萬元),經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得

(Ⅰ)已知家庭的年結(jié)余對年收入具有線性相關(guān)關(guān)系,求線性回歸方程;

(Ⅱ)若該地區(qū)的農(nóng)戶年積蓄在萬以上,即稱該農(nóng)戶已達小康生活,請預(yù)測農(nóng)戶達到小康生活的最低年收入應(yīng)為多少萬元?

附:在 中, 其中為樣本平均值.

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【題目】已知方程.

(Ⅰ)若此方程表示圓,求的取值范圍;

(Ⅱ)若(Ⅰ)中的圓與直線相交于, 兩點,且為坐標原點),求;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求以為直徑的圓的方程.

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【題目】已知函數(shù) .

(1)當時,求函數(shù)的值域;

(2)如果對任意的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)是否存在實數(shù),使得函數(shù)的最大值為0,若存在,求出的值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱函數(shù)的一個上界.已知函數(shù) .

(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實數(shù)的值;

(2)在第(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;

(3)若函數(shù)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某市郊區(qū)有一加油站,2018年初汽油的存儲量為50噸,計劃從年初起每周初均購進汽油噸,以滿足城區(qū)內(nèi)和城外汽車用油需求,已知城外汽車用油每周5噸;城區(qū)內(nèi)汽車用油前個周需求量噸與的函數(shù)關(guān)系式為 , 為常數(shù),且前4個周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100.

1)試寫出第個周結(jié)束時,汽油存儲量噸)與的函數(shù)關(guān)系式;

(2)要使16個周內(nèi)每周按計劃購進汽油之后,加油站總能滿足城區(qū)內(nèi)和城外的需求,且每周結(jié)束時加油站的汽油存儲量不超過150噸,試確定的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=AA1=4,AB=3,AB⊥AC.

(Ⅰ)求證:A1C⊥平面ABC1;
(Ⅱ)求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 ,橢圓 過點 ,直線 軸于 ,且 , 為坐標原點.
(1)求橢圓 的方程;
(2)設(shè) 是橢圓 的上頂點,過點 分別作直線 交橢圓 兩點,設(shè)這兩條直線的斜率分別為 ,且 ,證明:直線 過定點.

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