【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且,若,時(shí),有.
(1)證明在上是增函數(shù);
(2)解不等式;
(3)若對(duì),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析.
(2) .
(3) 或或.
【解析】分析:(1)任取,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推知,讓除以再乘以配出的形式,進(jìn)而判斷出與0的關(guān)系,進(jìn)而證明出函數(shù)的單調(diào)性;
(2)將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解;
(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,,恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可.
詳解:(1)任取,
則 ,
∵,∴,
由已知,,
∴,即,
∴在在上是增函數(shù);
(2)∵是定義在上的奇函數(shù),且在上是增函數(shù),
∴不等式化為,
∴,解得;
(3)由(1)知在上是增函數(shù),
∴在上的最大值為,
要使對(duì)恒成立,只要,
設(shè),對(duì),恒成立,
∴ ,
∴或或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).
(1)求k的取值范圍;
(2)若=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式恒成立;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、, 、為切點(diǎn),設(shè)切線、的斜率分別為和.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求證:直線恒過(guò)頂點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓的方程為: ,直線的方程為.
()當(dāng)時(shí),求直線被圓截得的弦長(zhǎng);
()當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí),求直線的方程;
()在()的前提下,若為直線上的動(dòng)點(diǎn),且圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校學(xué)生研究學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn),學(xué)生上課的注意力指標(biāo)隨著聽課時(shí)間的變化而變化,老師講課開始時(shí),學(xué)生的興趣激增;接下來(lái)學(xué)生的興趣將保持較理想的狀態(tài)一段時(shí)間,隨后學(xué)生的注意力開始分散.設(shè)表示學(xué)生注意力指標(biāo).
該小組發(fā)現(xiàn)隨時(shí)間(分鐘)的變化規(guī)律(越大,表明學(xué)生的注意力越集中)如下:(且).
若上課后第分鐘時(shí)的注意力指標(biāo)為,回答下列問(wèn)題:
()求的值.
()上課后第分鐘和下課前分鐘比較,哪個(gè)時(shí)間注意力更集中?并請(qǐng)說(shuō)明理由.
()在一節(jié)課中,學(xué)生的注意力指標(biāo)至少達(dá)到的時(shí)間能保持多長(zhǎng)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的右準(zhǔn)線的方程為,焦距為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)定點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)(異于橢圓的左、右頂點(diǎn))兩點(diǎn),設(shè)直線與直線相交于點(diǎn).
①若,試求點(diǎn)的坐標(biāo);
②求證:點(diǎn)始終在一條直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前 項(xiàng)和為,且是與的等差中項(xiàng).
()求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
()設(shè),數(shù)列滿足,.求數(shù)列的前項(xiàng)和.
()在()的條件下,設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),對(duì)于任意的正整數(shù),,恒有成立,且(為常數(shù),),試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列,并說(shuō)明理由.
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