【題目】已知函數(shù),其中

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)處的切線方程;

(2)若函數(shù)在定義域上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】試題分析:(1)先求 切線方程(2)求導(dǎo)得,令 ,再分 三種情況討論,借助導(dǎo)數(shù)工具求得正解;(3)利用分類討論思想分 三種情況討論,借助導(dǎo)數(shù)工具求得正解;

試題解析:(1)當(dāng)

則切線的斜率

所以函數(shù)處的切線方程為

(2), ,則

,,函數(shù)上單調(diào)遞增所以函數(shù)上無極值點(diǎn),不符題意,舍去;

,該二次函數(shù)開口向下,對(duì)稱軸, ,

所以上有且僅有一根,故,

且當(dāng)時(shí), ,函數(shù)上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí), , ,函數(shù)上單調(diào)遞減;

所以時(shí),函數(shù)在定義域上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),符合題意

, ,該二次函數(shù)開口向上,對(duì)稱軸

(。┤, ,函數(shù)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)上無極值點(diǎn)不符題意,舍去;

(ⅱ)若,,又,所以方程上有兩根 ,故,且

當(dāng)時(shí), , ,函數(shù)上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí), 函數(shù)上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí) , 函數(shù)上單調(diào)遞增;

所以函數(shù)上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),故不符題意,舍去,

綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是

(3)由(2)可知,

①當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),

,符合題意

當(dāng)時(shí), ,

(ⅰ)若,函數(shù)上單調(diào)遞減,故,不符題意,舍去

(ⅱ)若,,故函數(shù)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí) (事實(shí)上,令, ,函數(shù)上單調(diào)遞減,所以,對(duì)任意恒成立.

所以存在,使得,故不符題意,舍去

③當(dāng)時(shí), ,函數(shù)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí), ,符合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是

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2

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20

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