Question

已知點(diǎn)P是圓x²+y²=1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，點(diǎn)R滿足，記點(diǎn)R的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（0，1），點(diǎn)M、N在曲線C上，且直線AM與直線AN的斜率之積為，求△AMN的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)，確定P，R坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)P是圓x²+y²=1上任意一點(diǎn)，可得點(diǎn)R的軌跡方程；
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，不合題意；
（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，確定直線MN過定點(diǎn)T（0，-3），再計(jì)算△AMN的面積，利用換元法，借助于基本不等式，即可求得△AMN的面積的最大值．
解答：解：（I）設(shè)R（x，y），P（x，y），則Q（0，y）．
∵，∴，
∵點(diǎn)P是圓x²+y²=1上任意一點(diǎn)，
∴，
∴點(diǎn)R的軌跡方程：．…（6分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)MN：．
則，，∴，不合題意．…（7分）
（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)l_MN：y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0．
∴△=12（3k²-b²+1）＞0，，．…（9分）
又，
即．
將，代入上式，得b=-3．
∴直線MN過定點(diǎn)T（0，-3）．…（11分）
∴=．…（13分）
令，即3k²=t²+8，∴．
當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用代入法求軌跡方程，構(gòu)建面積函數(shù)，利用基本不等式求最值．