Question

已知點(diǎn)P是圓x²+y²=1上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，點(diǎn)R滿足

RQ

=

3

PQ

，記點(diǎn)R的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（0，1），點(diǎn)M、N在曲線C上，且直線AM與直線AN的斜率之積為

2

3

，求△AMN的面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)

RQ

=

3

PQ

，確定P，R坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)P是圓x²+y²=1上任意一點(diǎn)，可得點(diǎn)R的軌跡方程；
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，不合題意；
（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，確定直線MN過(guò)定點(diǎn)T（0，-3），再計(jì)算△AMN的面積，利用換元法，借助于基本不等式，即可求得△AMN的面積的最大值．

解答：解：（I）設(shè)R（x，y），P（x₀，y₀），則Q（0，y₀）．
∵

RQ

=

3

PQ

，∴

x0= 3 3 x y0=y

，
∵點(diǎn)P是圓x²+y²=1上任意一點(diǎn)，
∴x02+y02=1，
∴點(diǎn)R的軌跡方程：

x2

3

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)MN：x=t(-

3

＜t＜

3

)．
則M(t，

1- t2 3

)，N(t，-

1- t2 3

)，∴kAM•KAN=

1

3

，不合題意．…（7分）
（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)l_MN：y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y=kx+b x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0．
∴△=12（3k²-b²+1）＞0，x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

．…（9分）
又kAM•kAN=

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=

k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2

x1x2

=

2

3

，
即(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0．
將x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1•x2=

3b2-3

1+3k2

代入上式，得b=-3．
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)T（0，-3）．…（11分）
∴S△AMN=

1

2

|AT|•|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

3

•

3k2-8

1+3k2

．…（13分）
令

3k2-8

=t(t＞0)，即3k²=t²+8，∴

3k2-8

1+3k2

=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

≤

1

6

．
當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，(S△ABC)max=

2 3

3

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用代入法求軌跡方程，構(gòu)建面積函數(shù)，利用基本不等式求最值．