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已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設滿足條件的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.
【答案】分析:(1)設點P的坐標為(x,y),點M的坐標為(x,y),由,得x=2x,y=y,把點P坐標(x,y)代入圓x2+y2=1 消去x,y 可得M的軌跡C的方程.
(2)設出直線l的方程為y=k1(x-1),代入橢圓的方程,化為關于x的一元二次方程,利用根與系數,得到,代入要求的式子利用基本不等式求得最小值.
解答:解:(1)設點P的坐標為(x,y),點M的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(0,y).
,得x=2x,y=y,即
因為點P在圓x2+y2=1上,把點P代入圓x2+y2=1 可得  ,故點M的軌跡C的方程為
(2)由題設知,直線l的方程為y=k1(x-1),由
,其中,△=64k14-4(4k12+1)(4k12-4)=16(3k12+1)>0.
設直線l與曲線C的兩交點坐標為(x1,y1),(x2,y2),則,所以,
所以,,當且僅當時取等號,故 的最小值是
點評:本題考查求點的軌跡方程的方法,向量坐標形式的運算,一元二次方程根與系數的關系,基本不等式的應用,
得到  是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上一動點,點P在y軸上的射影為Q,設滿足條件
QM
QP
(λ為非零常數)的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若存在過點N(
1
2
,0)
的直線l與曲線C相交于A、B兩點,且
OA
OB
=0(O為坐標原點),求λ的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設滿足條件
QM
=2
QP
的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上任意一點,過點P作y軸的垂線,垂足為Q,點R滿足
RQ
=
3
PQ
,記點R的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設A(0,1),點M、N在曲線C上,且直線AM與直線AN的斜率之積為
2
3
,求△AMN的面積的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設滿足條件數學公式的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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