【題目】若對任意實數(shù)都有函數(shù)的圖象與直線相切,則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”,設(shè)函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù)為“恒切函數(shù)”,
①求實數(shù)的取值范圍;
②當取最大值時,若函數(shù)也為“恒切函數(shù)”,求證:.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】分析:(1)求出,分兩種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)①設(shè)切點為,求出,設(shè),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出故實數(shù)的取值范圍為;②當取最大值時,,,,,,因為函數(shù)也為“恒切函數(shù)”,故存在,使得,,由得,,設(shè),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
詳解:(1).當時,恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當時,得,由得,由得,
得函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上遞增.
(2)①若函數(shù)為“恒切函數(shù)”,則函數(shù)的圖象與直線相切,
設(shè)切點為,則且,即,.
因為函數(shù)為“恒切函數(shù)”,所以存在,使得,,即,得,,設(shè).
則,,得,得,
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而
故實數(shù)的取值范圍為.
②當取最大值時,,,,,
,因為函數(shù)也為“恒切函數(shù)”,故存在,使得,,由得,,設(shè),
則,得,得,
故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
1.在單調(diào)遞增區(qū)間上,,故,由,得;
2. 在單調(diào)遞增區(qū)間上,,
,又的圖象在上不間斷,
故在區(qū)間上存在唯一的,使得,故.
此時由,得,
函數(shù)在上遞增,,,故.
綜上所述,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年高考成績揭曉,某高中再創(chuàng)輝煌,考后學校對于單科成績逐個進行分析:現(xiàn)對甲、乙兩個文科班的數(shù)學成績進行分析,規(guī)定:大于等于135分為優(yōu)秀,135分以下為非優(yōu)秀,成績統(tǒng)計后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
(1)請完成上面的列聯(lián)表;
(2)請問:是否有75%的把握認為“數(shù)學成績與所在的班級有關(guān)系”?
(3)用分層抽樣的方法從甲、乙兩個文科班的數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中抽取5名學生進行調(diào)研,然后再從這5名學生中隨機抽取2名學生進行談話,求抽到的2名學生中至少有1名乙班學生的概率.
參考公式:(其中)
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2016·重慶高二檢測)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點.
(1)證明:平面BDC1⊥平面BDC.
(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中,有一個游戲叫做盲擰魔方,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方,盲擰在外人看來很神奇,其實原理是十分簡單的,要學會盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示,是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗證這個結(jié)論,某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進行調(diào)查,得到的情況如下表所示:
喜歡盲擰 | 不喜歡盲擰 | 總計 | |
男 | 22 | ▲ | 30 |
女 | ▲ | 12 | ▲ |
總計 | ▲ | ▲ | 50 |
表1
并邀請這30名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如下表所示:
成功完成時間(分鐘) | [0,10) | [10,20) | [20,30) | [30,40] |
人數(shù) | 10 | 10 | 5 | 5 |
表2
(1)將表1補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)?
(2)根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),求這30名男生成功完成盲擰的平均時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替);
(3)現(xiàn)從表2中成功完成時間在[0,10)內(nèi)的10名男生中任意抽取3人對他們的盲擰情況進行視頻記錄,記成功完成時間在[0,10)內(nèi)的甲、乙、丙3人中被抽到的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)棱底面, 垂直于和,為棱上的點,,.
(1)若為棱的中點,求證://平面;
(2)當時,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;
(3)在第(2)問條件下,設(shè)點是線段上的動點,與平面所成的角為,求當取最大值時點的位置.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市舉行“中學生詩詞大賽”,分初賽和復賽兩個階段進行,規(guī)定:初賽成績大于90分的具有復賽資格,某校有800名學生參加了初賽,所有學生的成績均在區(qū)間(30,150]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.則獲得復賽資格的人數(shù)為()
A.640B.520C.280D.240
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