【題目】已知，為橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓E有且只有一個(gè)交點(diǎn)T．

（1）求面積的取值范圍．

（2）若有一束光線(xiàn)從點(diǎn)射出，射在直線(xiàn)l上的T點(diǎn)上，經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l反射后，試問(wèn)反射光線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）是，定點(diǎn)

【解析】

（1）由題意設(shè)直線(xiàn)l的方程為：，將代入，得，由，解得，由韋達(dá)定理得切點(diǎn)T的，的面積，根據(jù)m的范圍即可求出；

（2）由對(duì)稱(chēng)性和（1）得，不妨取切點(diǎn)，則直線(xiàn)l：，設(shè)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，經(jīng)計(jì)算得，，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，即可得答案.

（1），∴直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，故設(shè)直線(xiàn)l的方程為l：，

將代入，得，

因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓E有且只有一個(gè)交點(diǎn)T，所以，解得，

此時(shí)求得，由，得，

，所以切點(diǎn)T的坐標(biāo)為，又，，

所以的面積，又，，．

（2）由對(duì)稱(chēng)性和（1）得，不妨取切點(diǎn)，則直線(xiàn)l：，設(shè)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，

則，，．

，，

故直線(xiàn)的斜率為，

所以直線(xiàn)的方程為，即恒過(guò)定點(diǎn)，

所以光線(xiàn)被直線(xiàn)l反射后恒過(guò)定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點(diǎn)，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.

（1）求異面直線(xiàn)AC與BE所成角的余弦值；

（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．

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【題目】在中，，分別為，的中點(diǎn)，，如圖1.以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖2.

如圖1 如圖2

（1）證明：平面平面；

（2）若平面平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的2019年春運(yùn)期間12個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表如圖所示，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是( )

A. 同去年相比，深圳的變化幅度最小且廈門(mén)的平均價(jià)格有所上升

B. 天津的平均價(jià)格同去年相比漲幅最大且2019年北京的平均價(jià)格最高

C. 2019年平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州

D. 同去年相比，平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)存在極大值與極小值，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（參考數(shù)據(jù)：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有著“中國(guó)碳谷”之稱(chēng)的安徽省淮北市，名優(yōu)特產(chǎn)眾多，其中“塔山石榴”因其青皮軟籽、籽粒飽滿(mǎn)、晶瑩剔透、汁多味甘而享譽(yù)天下.現(xiàn)調(diào)查表明，石榴的甜度與海拔、日照時(shí)長(zhǎng)、晝夜溫差有著極強(qiáng)的相關(guān)性，分別用表示石榴甜度與海拔、日照時(shí)長(zhǎng)、溫差的相關(guān)程度，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示一般，1表示良，2表示優(yōu)，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定石榴的等級(jí)，若則為一級(jí)；若則為二級(jí)；若則為三級(jí).近年來(lái)，周邊各地市也開(kāi)始發(fā)展石榴的種植，為了了解目前石榴在周邊地市的種植情況，研究人員從不同地市隨機(jī)抽取了12個(gè)石榴種植園，得到如下結(jié)果：

種植園編號(hào)

A

B

C

D

E

F

種植園編號(hào)

G

H

I

J

K

L

（1）若有石榴種植園120個(gè)，估計(jì)等級(jí)為一級(jí)的石榴種植園的數(shù)量；

（2）在所取樣本的二級(jí)和三級(jí)石榴種植園中任取2個(gè)，表示取到三級(jí)石榴種植園的數(shù)量，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離與它到直線(xiàn)l：的距離d的比值為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡為曲線(xiàn)C.

（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，過(guò)A點(diǎn)作，垂足為，過(guò)B點(diǎn)作，垂足為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍；

（3）設(shè)直線(xiàn)和的斜率分別為和，求證:為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某水果種植基地引進(jìn)一種新水果品種，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)該水果每株的產(chǎn)量（單位：）和與它“相近”的株數(shù)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系（兩株作物“相近”是指它們的直線(xiàn)距離不超過(guò)），并分別記錄了相近株數(shù)為0，1，2，3，4時(shí)每株產(chǎn)量的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

0

1

2

3

4

15

12

11

9

8

（1）求出該種水果每株的產(chǎn)量關(guān)于它“相近”株數(shù)的回歸方程；

（2）有一種植戶(hù)準(zhǔn)備種植該種水果500株，且每株與它“相近”的株數(shù)都為，計(jì)劃收獲后能全部售出，價(jià)格為10元，如果收入（收入=產(chǎn)量×價(jià)格）不低于25000元，則的最大值是多少？

（3）該種植基地在如圖所示的直角梯形地塊的每個(gè)交叉點(diǎn)（直線(xiàn)的交點(diǎn)）處都種了一株該種水果，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)和直角三角形的直角邊長(zhǎng)都為，已知該梯形地塊周邊無(wú)其他樹(shù)木影響，若從所種的該水果中隨機(jī)選取一株，試根據(jù)（1）中的回歸方程，預(yù)測(cè)它的產(chǎn)量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，.

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