Question

（2010•泰安一模）已知非零向量

a

，

b

滿足：|

a

|=2|

b

|，若函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x在R上有極值，設向量

a

，

b

的夾角為θ，則cosθ的取值范圍為（　　）

• A．[

  1

  2

  ，1]
• B．（

  1

  2

  ，1]
• C．[-1，

  1

  2

  ]
• D．[-1，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）在R上有極值，則f'（x）=0有解，將條件轉化為平面向量的數(shù)量積進行運算．

解答：解：因為函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x在R上有極值，則f'（x）=0有解．f'（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

，由f'（x）=0，得f'（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

=0，
所以判別式△＞0．即|

a

|²-4

a

•

b

＞0，即|

a

|²＞4

a

•

b

=4|

a

||

b

|cosθ．即|

a

|²＞2|

a

|²cosθ．所以cosθ＜

1

2

，即-1≤cosθ＜

1

2

，
即cosθ的取值范圍為[-1，

1

2

）．
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)與極值之間的關系以及平面向量數(shù)量積的應用．