Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若方程在區(qū)間(0,+)上有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若存在實數(shù)，且，使得，求證：．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為．（2）（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）時，,分段求出導(dǎo)函數(shù)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）設(shè)，則，所以在區(qū)間上有解，等價于在區(qū)間上有解，設(shè)，對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象及零點存在定理，即可得到符合題意的的取值范圍即可；（3）先排除的情況，到，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分別求出最大值與最小值，問題轉(zhuǎn)化為解得，所以.

試題解析：（1）當時，

當時，，則，

令，解得或（舍），所以時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

當時，，，

令，解得，當時，，當時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，

且.

綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為．

（2）設(shè)，則，所以，

由題意，在區(qū)間上有解，

等價于在區(qū)間上有解.

記，

則，

令，因為，所以，故解得，

當時，，當時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故函數(shù)在處取得最小值.

要使方程在區(qū)間上有解，當且僅當，

綜上，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為.

（3）由題意，，

當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，

由，可得，與條件矛盾，所以.

令，解得，

當時，，當時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

若存在，，則介于m，n之間，

不妨設(shè)，

因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

所以當時，，

由，，可得，故，

又在上單調(diào)遞減，且，所以．

所以，同理．

即解得，

所以.