【題目】關(guān)于的方程有3個不等實根．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證：方程的3個實根之和大于2．

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）方程有3個不等實根等價于方程有3個不等實根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，t的范圍介于極小值與極大值之間；（2）設(shè)的三個根分別為，且，數(shù)形結(jié)合知，通過構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性證明，再利用的單調(diào)性可得，即可證明3個根之和大于2.

（1）方程有3個不等實根等價于方程有3個不等實根，

考慮函數(shù)，，，

當(dāng)時，為減函數(shù)，對于任意的，當(dāng)時，，這表明當(dāng)時，的值域為；

當(dāng)時，為增函數(shù)，在上的值域為；

當(dāng)時，為減函數(shù)，設(shè)，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，．

可知當(dāng)時，恒成立，則恒成立，

則對任意，當(dāng)時，，并且時，．

這表明，當(dāng)時，的值域為，

為極小值，為極大值．

若與有3個交點，則．

（2）設(shè)的三個根分別為，且，易知．

設(shè)，．

，

當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞減，．

所以，故，

因為當(dāng)時，單調(diào)遞減，

所以．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點是軸下方（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、滿足，，其中為常數(shù)，且、兩點均在上，弦的中點為．

（1）若點坐標(biāo)為，時，求弦所在的直線方程；

（2）在（1）的條件下，如果過點的直線與拋物線只有一個交點，過點的直線與拋物線也只有一個交點，求證：若和的斜率都存在，則與的交點在直線上；

（3）若直線交拋物線于點，求證：線段與的比為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線C：上的一點，過P作互相垂直的直線PA，PB．與拋物線C的另一交點分別是A，B.

（1）若直線AB的斜率為，求AB方程；

（2）設(shè)，當(dāng)時，求△PAB的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，圓錐的底面半徑為2，是圓周上的定點，動點在圓周上逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)()，是母線的中點，已知當(dāng)時，與底面所成角為.

（1）求該圓錐的側(cè)面積；

（2）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國古代幾何中的勾股容圓，是闡述直角三角形中內(nèi)切圓問題． 此類問題最早見于《九章算術(shù)》“勾股”章，該章第16題為：“今有勾八步，股十五步． 問勾中容圓，徑幾何？”意思是“直角三角形的兩條直角邊分別為8和15，則其內(nèi)切圓直徑是多少？”若向上述直角三角形內(nèi)隨機拋擲120顆米粒（大小忽略不計，取），落在三角形內(nèi)切圓內(nèi)的米粒數(shù)大約為（ ）

A.54B.48C.42D.36

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進的甲公司前期的經(jīng)營狀況，對該公司2018年連續(xù)六個月的利潤進行了統(tǒng)計，并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖，如圖所示

（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤（單位：百萬元）與月份代碼之間的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2019年3月份的利潤；

（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購一批新型材料，現(xiàn)有，兩種型號的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用個月，但新材料的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致材料損壞的年限不相同，現(xiàn)對，兩種型號的新型材料對應(yīng)的產(chǎn)品各件進行科學(xué)模擬測試，得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計如下表：

使用壽命

材料類型

個月

個月

個月

個月

總計

如果你是甲公司的負責(zé)人，你會選擇采購哪款新型材料？

參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回歸直線方程為，其中 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某景區(qū)平面圖如圖1所示，為邊界上的點．已知邊界是一段拋物線，其余邊界均為線段，且，拋物線頂點到的距離．以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求邊界所在拋物線的解析式；

（2）如圖2，該景區(qū)管理處欲在區(qū)域內(nèi)圍成一個矩形場地，使得點在邊界上，點在邊界上，試確定點的位置，使得矩形的周長最大，并求出最大周長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，，，且的離心率為，拋物線，點在上．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作的切線，若，直線與交于兩點，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】記無窮數(shù)列的前n項，，…，的最大項為，第n項之后的各項，，…的最小項為，．

（1）若數(shù)列的通項公式為，寫出，，；

（2）若數(shù)列的通項公式為，判斷是否為等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請說明理由；

（3）若數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，求證：是等差數(shù)列．

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