Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，且的離心率為，拋物線，點(diǎn)在上．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作的切線，若，直線與交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）依題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得， 結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求得，得到，求得的方程，再利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，表示出三角形，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．

（1）依題意，橢圓，點(diǎn)在橢圓上，，且的離心率為，可得 ，解得，

故橢圓的方程為．

（2）設(shè)直線，，，，，

由，整理得，則，

由，可得，所以，

因?yàn)?/span>，可得，

又，所以，即直線，

聯(lián)立，整理得，

所以，

所以，

又由原點(diǎn)到直線的距離，

故，

設(shè)，則，

代入上式可得，

當(dāng)，即時(shí)，的面積最大，最大值為．