【題目】已知函數(shù)f(x)=x2++alnx.
(Ⅰ)若f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)f(x)的導(dǎo)數(shù)f’(x )的圖象為曲線C ,曲線C 上的不同兩點(diǎn)A (x1, y1) ,B (x2,y 2) 所在直線的斜率為k ,求證:當(dāng)a≤4時(shí),|k|>1.
【答案】(Ⅰ)a≥-7;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)將單調(diào)性的問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題求解可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥-7;
(2)原問題等價(jià)于于||>|x1-x2|,據(jù)此結(jié)合題意和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.
試題解析:
(Ⅰ)由f(x)=x2++aln x,得f'(x)=2x-+,
由已知得2x-+≥0在x∈[2,3]上恒成立,即a≥-2x2 恒成立.
設(shè)g (x)=-2x ,則g'(x )=--4x <0,所以g(x)在x∈[2,3]上單調(diào)遞減,
g(x)max =g(2)=-7,所以a≥-7.
(Ⅱ)證明:|k|>1等價(jià)于||>1,等價(jià)于||>|x1-x2|,
而||=|
=|x1-x2|·|2+-|
所以只需要證明|2+-|>1.
即a<x1+x2+或a>3x1+x2+,
而a>3x1+x2+,顯然不可能對(duì)一切正實(shí)數(shù)x1x2 均成立,
所以只需要證a<x1+x2+成立.
因?yàn)?/span>x1+x2+>x1x2+,設(shè)t=,M(t)=t2+(t>0)
得M’(t)=2t-當(dāng)t=時(shí)M’(t)=0
在t∈(0,)上,M(t)遞減;在t∈(,+∞)上,M(t)遞增
所以M(t)≥3=>4≥a,所以a<x1x2+
所以||>1,即當(dāng)a≤4時(shí),|K|>1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出三種函數(shù)模型:f(x)=xn(n>0),g(x)=ax(a>1)和h(x)=logax(a>1).根據(jù)它們?cè)鲩L(zhǎng)的快慢,則一定存在正實(shí)數(shù)x0 , 當(dāng)x>x0時(shí),就有( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.h(x)>g(x)>f(x)
C.f(x)>h(x)>g(x)
D.g(x)>f(x)>h(x)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100 , 則(a0+a2+a4+…+a100)2﹣(a1+a3+a5+…+a99)2的值為( )
A.1
B.﹣1
C.0
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行“慶元旦”教工羽毛球單循環(huán)比賽(任意兩個(gè)參賽隊(duì)伍只比賽一場(chǎng)),有高一、高二、高三共三個(gè)隊(duì)參賽,高一勝高二的概率為,高一勝高三的概率為,高二勝高三的概率為,每場(chǎng)勝負(fù)相互獨(dú)立,勝者記1分,負(fù)者記0分,規(guī)定:積分相同時(shí),高年級(jí)獲勝.
(1)若高三獲得冠軍的概率為,求;
(2)記高三的得分為,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+a在區(qū)間(1,3)內(nèi)有極小值,則函數(shù)g(x)= 在區(qū)間(1,+∝)上一定( )
A.有最小值
B.有最大值
C.是減函數(shù)
D.是增函數(shù)
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【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,2),函數(shù)g(x)=f(x﹣1)+f(3﹣2x).
(1)求函數(shù)g(x)的定義域;
(2)若f(x)是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求不等式g(x)≤0的解集
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=1﹣,求解:(1)f(x)的值域;(2)證明f(x)為R上的增函數(shù). .
(1)求f(x)的值域;
(2)證明f(x)為R上的增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在中,角的對(duì)邊分別是滿足,求函數(shù)的取值范圍.
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