Question

已知函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A．若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，當

1

m

+

2

n

有最小值時，橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得定點A（-2，-1），2m+n=1，把要求的式子化為4+

n

m

+

4m

n

，利用基本不等式求得取得最小值時相應(yīng)的m，n的值，最后代入橢圓方程即可求得其離心率．

解答：解：∵x=-2時，y=log₂1-1=-1，
∴函數(shù)y=log₂（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（-2，-1）即A（-2，-1），
∵點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，

1

m

+

2

n

=

2m+n

m

+

4m+2n

n

=2+

n

m

+

4m

n

+2≥4+2•

n m • 4m n

=8，
當且僅當m=

1

4

，n=

1

2

時取等號．
∴橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1即

x2

1 16

+

y2

1 4

=1
離心率為：

3 4

1 2

=

3

2

故答案為：

3

2

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)圖象過定點問題，把要求的式子化為 4+

n

m

+

4m

n

，是解題的關(guān)鍵．