【題目】已知定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)因為f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,
即
又由f(1)=﹣f(﹣1)知 .
所以a=2,b=1.
經(jīng)檢驗a=2,b=1時, 是奇函數(shù).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,
易知f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù).
又因為f(x)是奇函數(shù),
所以f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0
等價于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),
因為f(x)為減函數(shù),由上式可得:t2﹣2t>k﹣2t2 .
即對一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k>0,
從而判別式 .
所以k的取值范圍是k<﹣
【解析】(Ⅰ)利用奇函數(shù)定義,在f(﹣x)=﹣f(x)中的運用特殊值求a,b的值;
(Ⅱ)首先確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性,然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的奇函數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù)才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,邊長為an的一組正三角形AnBn﹣1Bn的底邊Bn﹣1Bn依次排列在x軸上(B0與坐標原點重合).設(shè){an}是首項為a,公差為2的等差數(shù)列,若所有正三角形頂點An在第一象限,且均落在拋物線y2=2px(p>0)上,則a的值為 .
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【題目】若點( ,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,點(2, )在冪函數(shù)g(x)的圖象上,定義h(x)= 求函數(shù)h(x)的最大值及單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
某學(xué)校用簡單隨機抽樣方法抽取了100名同學(xué),對其日均課外閱讀時間(單位:分鐘)進行調(diào)查,結(jié)果如下:
t | ||||||
男同學(xué)人數(shù) | 7 | 11 | 15 | 12 | 2 | 1 |
女同學(xué)人數(shù) | 8 | 9 | 17 | 13 | 3 | 2 |
若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”.
(1)將頻率視為概率,估計該校4000名學(xué)生中“讀書迷”有多少人?
(2)從已抽取的8名“讀書迷”中隨機抽取4位同學(xué)參加讀書日宣傳活動.
(i)求抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率;
(ii)記抽取的“讀書迷”中男生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望
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【題目】已知曲線C 的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以直角坐標系原點O 為極點,x 軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求曲線C 的極坐標方程;
(Ⅱ)設(shè),若l 1 、l2與曲線C 相交于異于原點的兩點 A、B ,求△AOB的面積.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)當a=﹣2時,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)設(shè)a>﹣1,且當 時,f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
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【題目】已知命題p:設(shè)a,b∈R,則“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分條件;命題q:若 <0,則 , 夾角為鈍角,在命題①p∧q;②¬p∨¬q;③p∨¬q;④¬p∨q中,真命題是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為A1B1 , CD的中點.
(1)求| |
(2)求直線EC與AF所成角的余弦值;
(3)求二面角E﹣AF﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點,求證:
(Ⅰ)平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)A1C//平面AB1E.
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