Question

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為q(q＞1)的等比數(shù)列．

(1)若a5＝b5，q＝3，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和；

(2)若存在正整數(shù)k(k≥2)，使得ak＝bk.試比較an與bn的大小，并說(shuō)明理由．．

 

Answer 1

（1）Sn＝（2）當(dāng)1＜n＜k時(shí)，an＜bn；當(dāng)n＞k時(shí)，an＞bn；當(dāng)n＝1，k時(shí)，an＝bn.

【解析】審題引導(dǎo)：①等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積錯(cuò)位相減求和；②作差比較．

規(guī)范解答：【解析】
(1)依題意，a5＝b5＝b1q5－1＝1×34＝81，故d＝＝20，

所以an＝1＋20(n－1)＝20n－19.(3分)

令Sn＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n－19)·3n－1，①

則3Sn＝1×3＋21×32＋…＋(20n－39)·3n－1＋(20n－19)·3n，②

①－②，得－2Sn＝1＋20×(3＋32＋…＋3n－1)－(20n－19)·3n＝1＋20×－(20n－19)·3n＝(29－20n)·3n－29，所以Sn＝.(7分)

(2)因?yàn)?/span>ak＝bk，所以1＋(k－1)d＝qk－1，即d＝，

故an＝1＋(n－1).又bn＝qn－1，(9分)所以bn－an＝qn－1－

＝[(k－1)(qn－1－1)－(n－1)(qk－1－1)]

＝[(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)]．(11分)

(ⅰ)當(dāng)1＜n＜k時(shí)，由q＞1知

bn－an＝[(k－n)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋qn－1)]

＜[(k－n)(n－1)qn－2－(n－1)(k－n)qn－1]＝－

＜0；(13分)

(ⅱ)當(dāng)n＞k時(shí)，由q＞1知

bn－an＝[(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋qk－1)－(n－k)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)]

＞[(k－1)(n－k)qk－1－(n－k)(k－1)qk－2]

＝(q－1)2qk－2(n－k)

＞0，(15分)

綜上所述，當(dāng)1＜n＜k時(shí)，an＜bn；當(dāng)n＞k時(shí)，an＞bn；當(dāng)n＝1，k時(shí)，an＝bn.(16分)

(注：僅給出“1＜n＜k時(shí)，an＜bn；n＞k時(shí)，an＞bn”得2分)

錯(cuò)因分析：錯(cuò)位相減時(shí)項(xiàng)數(shù)容易搞錯(cuò)，作差比較后學(xué)生不能靈活倒用等比數(shù)列求和公式1－qn＝(1－q)(1＋q＋q2＋…＋qn－1)