【題目】已知動直線垂直于軸，與橢圓交于兩點，點在直線上，.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線與橢圓相交于，與曲線相切于點，為坐標原點，求的取值范圍.

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）設出兩點的坐標，根據(jù)對稱性得到點坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算化簡，求得兩點坐標的關系，將點坐標代入橢圓方程，化簡求得點的軌跡方程.

（2）當直線斜率不存在時，根據(jù)橢圓的幾何性質求得.當直線的斜率存在時，設出直線的方程，代入方程，利用判別式為零列出關系.將代入方程，化簡后寫出韋達定理，計算出的表達式，并利用換元法和二次函數(shù)的性質，求得的取值范圍.

（1）設，則由題知，，

,，

由在橢圓上，得，所以，

故點的軌跡的方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，為的左（或右）頂點，也是的左（或右）焦點，所以；

當直線的斜率存在時，設其方程為,

，，

，所以，

，

令，，，

所以，當時，即時，取最大值，當時，即時，取最小值；綜上：的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于任意，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列：1，，是“K數(shù)列”，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）是否存在首項為-1的無窮等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項和滿足：，若存在，求出的通項公式；若不存在，請說明理由；

（3）已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列（至少有4項）為“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，是否存在，使為“K數(shù)列”？若存在，請求出，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義:若函數(shù)的圖象經(jīng)過變換后所得的圖象對應的函數(shù)與的值域相同，則稱變換是的同值變換，下面給出了四個函數(shù)與對應的變換：①, 將函數(shù)的圖象關于直線作對稱變換；②, 將函數(shù)的圖象關于軸作對稱變換；③, 將函數(shù)的圖象關于點作對稱變換；④，將函數(shù)的圖象關于點作對稱變換.其中是的同值變換的有__________（寫出所有符合題意的序號)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為.

(1)求函數(shù)的表達式及其周期；

(2)求函數(shù)在上的對稱軸、對稱中心及其單調(diào)增區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，，.

（1）求證：平面與平面不垂直；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知向量，設，向量．

（1）若，求向量與的夾角；

（2）若 對任意實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，一個角形海灣（常數(shù)為銳角）．擬用長度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：方案一：如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中；方案二：如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中.

（1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積；

（2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積（用表示）；

（3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應選擇何種方案？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點為別為F1、F2，且過點和．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，點A為橢圓上一位于x軸上方的動點，AF2的延長線與橢圓交于點B，AO的延長線與橢圓交于點C，求△ABC面積的最大值，并寫出取到最大值時直線BC的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.

(1)求證：AD⊥平面BFED；

(2)點P在線段EF上運動，設平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．

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