【題目】已知數(shù)集,)具有性質(zhì):對(duì)任意的、),兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.

1)分別判斷數(shù)集是否具有性質(zhì),并說明理由;

2)證明:,且;

3)證明:當(dāng)時(shí),、、、成等比數(shù)列.

【答案】1)數(shù)集具有性質(zhì)P,理由見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

1由定義直接判斷(2)由已知得anan中至少有一個(gè)屬于A,從而得到a11;再由1a1a2<…<an,得到akanAk2,3,…,n).由A具有性質(zhì)P可知Ak1,2,3,…,n),由此能證明a11,且an3)當(dāng)n5時(shí),,從而a3a4A,A,由此能證明,故成等比數(shù)列.

1)由于3×4均不屬于數(shù)集{1,3,4},

所以數(shù)集{1,3,4}不具有性質(zhì)P

由于1×2,1×3,1×6,2×3,,,,,都屬于數(shù)集{1,23,6},

所以數(shù)集{12,3,6}具有性質(zhì)P

2)證明:

因?yàn)?/span>A{a1,a2,…,an}具有性質(zhì)P,

所以anan中至少有一個(gè)屬于A

由于1a1a2<…<an,所以ananan,故ananA

從而1A,故a11;

因?yàn)?/span>1a1a2<…<an,所以akanan,故akanAk2,span>3,…,n).

A具有性質(zhì)P可知Ak1,2,3,…,n),

又因?yàn)?/span>,

所以a1,,…,,,

從而a1+a2++an1+an

a11,且an

3證明:

由(2)知,當(dāng)n5時(shí),有a2,,即,

因?yàn)?/span>1a1a2<…<a5,

所以a3a4a2a4a5,故a3a4A,

A具有性質(zhì)P,可知A,

,得A,且1a3,

所以a2,

,

所以,

、、、成等比數(shù)列.

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