【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓交于兩點，則在軸上是否存在一個定點使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點的坐標；若不存在，也請說明理由．

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）據(jù)題意，得 ，求解方程組確定a,b的值即可求得橢圓方程；

（2）據(jù)題設(shè)知點，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理有． 假設(shè)存在點M滿足題意，則，結(jié)合韋達定理求解實數(shù)m的值即可；然后討論斜率不存在的情況即可確定定點M存在.

（1）據(jù)題意，得

解得，

所以橢圓的標準方程為．

（2）據(jù)題設(shè)知點，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．

由，得．

設(shè)，則．

設(shè)，則直線的斜率分別滿足．

又因為直線的斜率互為相反數(shù)，

所以，

所以，所以，

所以，

所以，所以．

若對任意恒成立，則，

當直線的斜率不存在時，若，則點滿足直線的斜率互為相反數(shù)．

綜上，在軸上存在一個定點，使得直線的斜率互為相反數(shù)．

練習冊系列答案
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表1：男生“智力評分”頻數(shù)分布表

智力評分/分

頻數(shù)

2

5

14

13

4

2

表2：女生“智力評分”頻數(shù)分布表

智力評分/分

頻數(shù)

1

7

12

6

3

1

（1）求高一年級的男生人數(shù)，并完成下面男生“智力評分”的頻率分布直方圖；

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