【題目】我們把定義在上,且滿足(其中常數(shù),滿足,,)的函數(shù)叫做似周期函數(shù).
(1)若某個似周期函數(shù)滿足且圖像關(guān)于直線對稱,求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)當(dāng),時,某個似周期函數(shù)在時的解析式為,求函數(shù),的解析式;
(3)對于確定的且當(dāng)時,,試研究似周期函數(shù)在區(qū)間上是否可能是單調(diào)函數(shù)?若可能,求出的取值范圍;若不可能,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)可能,
【解析】
(1)先閱讀新定義,再利用偶函數(shù)的定義證明即可;
(2)由時的解析式為,結(jié)合函數(shù)的周期求解即可;
(3)由分段函數(shù)在各段上的單調(diào)性,研究函數(shù)在整體上的單調(diào)性,從而得解.
解:(1)因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,則,
又函數(shù)滿足,則,用替換得,
則,又,,所以,
故函數(shù)是偶函數(shù);
(2)似周期函數(shù)在時的解析式為,
當(dāng)時,,
,
故,;
(3)當(dāng)時,,
,
顯然當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),
又當(dāng)時,,是增函數(shù),
此時,
若似周期函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則只能是增函數(shù),
即,即,
故的取值范圍為.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,點,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于,兩點.
(1)求曲線與直線交點的極坐標(biāo)(,);
(2)若,求的值.
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【題目】己知函數(shù)
(1)設(shè)時,判斷函數(shù)在上的零點的個數(shù);
(2)當(dāng),是否存在實數(shù),對且,有恒成立,若存在,求出的范圍:若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,AC⊥BC,且,AC=BC=2,D,E分別為AB,PB中點,PD⊥平面ABC,PD=3.
(1)求直線CE與直線PA夾角的余弦值;
(2)求直線PC與平面DEC夾角的正弦值.
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【題目】近一段時間來,由于受非洲豬瘟的影響,各地豬肉價格普遍上漲,生豬供不應(yīng)求。各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn),目前各項針對性政策措施對于生豬整體產(chǎn)能恢復(fù)、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn).
現(xiàn)有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場,均養(yǎng)有1萬頭豬.根據(jù)豬的重量,將其分為三個成長階段如下表.
豬生長的三個階段
階段 | 幼年期 | 成長期 | 成年期 |
重量(Kg) |
根據(jù)以往經(jīng)驗,兩個養(yǎng)豬場內(nèi)豬的體重均近似服從正態(tài)分布.
由于我國有關(guān)部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬監(jiān)控力度,高度重視其質(zhì)量保證,為了養(yǎng)出健康的成年活豬,甲、乙兩養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式.已知甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為,.
(1)試估算各養(yǎng)豬場三個階段的豬的數(shù)量;
(2)已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬,若為健康合格的豬 ,則可盈利元,若為不合格的豬,則虧損元;乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬,若為健康合格的豬 ,則可盈利元,若為不合格的豬,則虧損元.記為甲、乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤,求隨機變量的分布列,假設(shè)兩養(yǎng)豬場均能把成年期豬售完,求兩養(yǎng)豬場的總利潤期望值.
(參考數(shù)據(jù):若,則,,)
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【題目】已知函數(shù),
其中c>0.那么f(x)的零點是________;若f(x)的值域是,則c的取值范圍是________.
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【題目】“更相減損術(shù)”是《九章算術(shù)》中介紹的一種用于求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法,該方法的算法流程如圖所示,根據(jù)程序框圖計算,當(dāng)a=35,b=28時,該程序框圖運行的結(jié)果是( 。
A.a=6,b=7B.a=7,b=7C.a=7,b=6D.a=8,b=8
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為梯形,AB//CD,,AB=AD=2CD=2,△ADP為等邊三角形.
(1)當(dāng)PB長為多少時,平面平面ABCD?并說明理由;
(2)若二面角大小為150°,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
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