【題目】對于定義在上的函數(shù),若存在距離為的兩條直線和,使得對任意都有恒成立,則稱函數(shù)有一個寬度為的通道.給出下列函數(shù):
①; ②; ③; ④.
其中在區(qū)間上有一個通道寬度為的函數(shù)是__________(寫出所有正確的序號).
【答案】
【解析】
對于①,只需考慮反比例函數(shù)在上的值域即可;對于②,要分別考慮函數(shù)的值域和圖象性質(zhì);對于③,則需從函數(shù)圖象入手,尋找符合條件的直線即可.
對于①,當(dāng)時,,故在有一個寬度為1的通道,兩條直線可取,;對于②,當(dāng)時,,故在不存在一個寬度為1的通道;對于③,當(dāng)時,表示雙曲線在第一象限的部分,雙曲線的漸近線為,故可取另一直線為,滿足在有一個寬度為1的通道;對于④,,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,且,故可得函數(shù)的值域為,兩條直線可取,;∴在區(qū)間上通道寬度可以為1的函數(shù)有①③④,即答案為①③④.
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【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為I,區(qū)間,記.證明:
(1)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增的充要條件是:,都有;
(2)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減的充要條件是:,都有.
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【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù)
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
參考公式:
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【題目】已知拋物線的焦點為,若過且傾斜角為的直線交于,兩點,滿足.
(1)求拋物線的方程;
(2)若為上動點,,在軸上,圓內(nèi)切于,求面積的最小值.
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【題目】已知函數(shù),曲線在點處切線與直線垂直.
(1)試比較與的大小,并說明理由;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點,,證明:.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2ax2+2bx,若存在實數(shù)x0∈(0,t),使得對任意不為零的實數(shù)a,b均有f(x0)=a+b成立,則t的取值范圍是_____.
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【題目】已知為定義在實數(shù)集上的函數(shù),把方程稱為函數(shù)的特征方程,特征方程的兩個實根、(),稱為的特征根.
(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)已知為給定實數(shù),求的表達(dá)式;
(3)把函數(shù),的最大值記作,最小值記作,研究函數(shù),的單調(diào)性,令,若恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x-2a|.
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)≤3的解集;
(2)當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)≤3恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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