【題目】如果函數(shù)滿足是它的零點(diǎn),則函數(shù)有趣的,例如就是有趣的,已知有趣的”.

1)求出b、c并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若對(duì)于任意正數(shù)x,都有恒成立,求參數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1),,單減區(qū)間為0,1),單增區(qū)間為;(2)

【解析】

1)根據(jù)定義得方程恒成立,解得b、c,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)先化簡(jiǎn)不等式,再求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)分類討論,利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立,再說(shuō)明不恒成立.

1)因?yàn)?/span>有趣的,所以

的定義域?yàn)?/span>,單減區(qū)間為(0,1),單增區(qū)間為.

2)參數(shù)的取值范圍為.

引理:不等式對(duì)任意正數(shù)y都成立。證明如下:

恒成立,得恒成立。.

我們構(gòu)造函數(shù)。注意到。

構(gòu)造,注意到,且

我們以下分兩部分進(jìn)行說(shuō)明:

第一部分:時(shí),恒成立。

時(shí),由引理得:,知道,

從而當(dāng)時(shí)有,時(shí)有,所以在(01)上為負(fù),在上為正。

從而上單減,在上單增,最小值為。

從而

第二部分:時(shí),不滿足條件。

構(gòu)造函數(shù)。

(。┤,則對(duì)于任意,都有。

(ⅱ)若,則對(duì)于任意,,

,所以在(0,1)上有唯一零點(diǎn),同時(shí)在,時(shí)都有。

于是只要,無(wú)論是(ⅰ)還是(ⅱ),我們總能找到一個(gè)實(shí)數(shù),在時(shí)都有

這樣在時(shí),都有,結(jié)合,所以時(shí),從而在時(shí)有。,所以時(shí),不滿足要求。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù),(,).

1)若,求的極值和單調(diào)區(qū)間;

2)若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:

是偶函數(shù);的最大值為;

個(gè)零點(diǎn);在區(qū)間單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(

A.①②B.①③C.②④D.①④

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【題目】選修4-5:不等式選講

已知函數(shù).

(Ⅰ)若,解不等式;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意的都滿足,當(dāng)時(shí),,若函數(shù),且至少有6個(gè)零點(diǎn),則取值范圍是

A.B.

C.D.

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【題目】某汽車美容公司為吸引顧客,推出優(yōu)惠活動(dòng):對(duì)首次消費(fèi)的顧客,按/次收費(fèi),并注冊(cè)成為會(huì)員,對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠,標(biāo)準(zhǔn)如下:

消費(fèi)次第

收費(fèi)比率

該公司注冊(cè)的會(huì)員中沒(méi)有消費(fèi)超過(guò)次的,從注冊(cè)的會(huì)員中,隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

消費(fèi)次數(shù)

人數(shù)

假設(shè)汽車美容一次,公司成本為元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問(wèn)題:

1)某會(huì)員僅消費(fèi)兩次,求這兩次消費(fèi)中,公司獲得的平均利潤(rùn);

2)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,設(shè)該公司為一位會(huì)員服務(wù)的平均利潤(rùn)為元,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】對(duì)于正整數(shù)集合,如果任意去掉其中一個(gè)元素之后,剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合,且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等,就稱集合為“可分集合”.

1)判斷集合是否是“可分集合”(不必寫(xiě)過(guò)程);

2)求證:五個(gè)元素的集合一定不是“可分集合”;

3)若集合是“可分集合”.

①證明:為奇數(shù);

②求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.

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【題目】已知函數(shù).

1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求的值;

2)在(1)條件下,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;

3)當(dāng),且時(shí),證明:.

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【題目】在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為),M為該曲線上的任意一點(diǎn).

1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);

2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.

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