【題目】已知函數(shù)

是函數(shù)的極值點(diǎn),1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),求的值;

當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

若對(duì)任意,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1);(2)詳見解析;(3).

【解析】

(1)先求導(dǎo)得到,,,得到的值,繼而求出的值;

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(3),問題轉(zhuǎn)化為有解即可,亦即只需存在使得即可,連續(xù)利用導(dǎo)函數(shù),然后分別對(duì),看是否存在使得進(jìn)而得到結(jié)論.

(1),

是函數(shù)的極值點(diǎn),

∵1是函數(shù)的零點(diǎn),得,

,

解得,

(2)時(shí),,

,

時(shí),,遞增,

時(shí),令,解得:

,解得:,

遞減,在遞增;

(3)令,,則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù),

根據(jù)題意,對(duì)任意,都存在 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),使得成立,

則在,有解,

,只需存在使得即可,

由于,

,,

上單調(diào)遞增,,

①當(dāng),即時(shí),,即,上單調(diào)遞增,∴,不符合題意.

②當(dāng),即時(shí),,

,則,所以在恒成立,即恒成立,∴上單調(diào)遞減,

∴存在使得,符合題意.

,則,∴在上一定存在實(shí)數(shù),使得,

∴在恒成立,即恒成立,∴上單調(diào)遞減,

∴存在使得,符合題意.綜上所述,當(dāng)時(shí),對(duì)任意,都存在為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),使得成立.

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